Лекция 15. Уравнение энергии

Рассмотрим трубку тока, показанную на рис. 15.1. В сечении 1 жидкость имеет давление р₁, температуру Т₁, удельную плотность ₁ и движется со скоростью v₁. В сечении 2 эти параметры соответственно равны р₂, Т₂, ₂ и v₂. Сечения 1 и 2 находятся на высоте от контрольной плоскости z₁ и z₂. При перемещении от сечения 1 к сечению 2 над жидкостью может быть совершена работа внешних сил в количестве А и подведено тепло в количестве q. В свою очередь поток жидкости может совершать работу в количестве L₀. В результате этого удельная энергия жидкости изменится на величину Е.

В соответствии с первым законом термодинамики для единицы массы жидкости изменение ее энергии должно быть равно

. (15.1)

Изменение удельной энергии Е складывается из изменения кинетической энергии Е_к, потенциальной энергии Е_п и внутренней энергии Е_вн.

. (15.2)

В свою очередь изменение кинетической энергии между сечениями 1 и 2 равно

. (15.3)

Изменение внутренней энергии U связано с изменением температуры массы и равно

. (15.4)

Здесь c_v – удельная теплоемкость жидкости или газа, определенная при условии, что масса и объем газа не меняются. Температура газа Т должна выражаться в градусах Кельвина, т.е. к градусам по шкале Цельсия необходимо прибавить величину 273.

.

Хотя в вычислении разности температур это значения не имеет, но при дальнейших расчетах состояний газового потока переход к шкале Кельвина необходим.

Изменение потенциальной энергии равно работе по перемещению массы жидкости с высоты z₁ на высоту z₂:

. (15.5)

Таким образом, суммарное изменение энергии единицы массы жидкости

. (15.6)

Работа внешних сил выражается в перемещении массы газа из сечения 1 в сечение 2 за счет разности давлений . Следует обратить внимание на то, что движение жидкости в направлении от сечения 1 к сечению 2 за счет внешних сил, т.е. за счет разности давлений возможно лишь в том случае, если . Перемещение за счет разности высот или изменения кинетической энергии потока связано с затратами собственной энергии жидкости.

В общем случае работа за промежуток времени t равна произведению силы F на перемещение ℓ. Для трубки тока внешняя сила равна произведению давления на площадь сечения трубки s. Перемещение . Работа силы давления по перемещению массы жидкости G из сечения 1 в сечение 2 равна

.

Для установившегося движения

.

Отсюда для единицы массы жидкости работа сил давления

. (15.7)

Параметры совершенного газа связаны между собой зависимостью Менделеева-Клайперона

, (15.8)

где R – газовая постоянная, . Здесь μ – молекулярная масса газа. Для воздуха μ=29, R=287 Дж/(кг∙К). Тогда (7.38) можно представить в виде

. (15.9)

Подставляя (15.6) и (15.9) в (15.1), получим

,

откуда

. (15.10)

Из соотношения

(15.11)

получаем

. (15.12)

Величина c_p обозначает теплоемкость газа при постоянном давлении, а произведение

(15.13)

называется теплосодержанием газа или энтальпией газа. Тогда (15.12) можно представить в виде

. (15.14)

Для газовых потоков из-за малости вклада изменением высоты положения пренебрегают и опускают соответствующие члены в (15.14). В том случае, если внешний подвод теплоты и работа потока отсутствуют, то уравнение (7.45) сводится к виду

. (15.15)

Уравнение энергии (15.15) не содержит работы силы трения. В изолированной трубе под действием трения давление газа вдоль трубы уменьшается, т.е. газ расширяется. При расширении газа его температура должна снижаться, однако работа сил трения преобразуется в тепло, которое передается газовому потоку. По этой причине балансовое соотношение (15.15) выполняется и при течении с трением. Следует отметить, что уравнение Бернулли в виде (14.4) или (14.5) справедливо только для идеальной жидкости, т.е. для течения без трения.

Вдоль трубы постоянного сечения под влиянием сил трения температура газа в дозвуковом течении даже убывает. Происходит это потому, что падение давления сопровождается уменьшением плотности газа, а плотность тока, т.е. отношение массового расхода к сечению трубы , остается постоянной. Поэтому скорость газа возрастает, а его температура снижается. При малой скорости движения температура меняется только за счет теплообмена с окружающей средой. Если газ проходит через турбину, то он совершает работу, энтальпия его уменьшается, и температура газа снижается. В компрессоре он сжимается, получая энергию, поэтому температура его возрастает. Если изменение скорости невелико, и нет теплообмена с окружающей средой, то изменение температуры

. (15.16)

Здесь с_р – значение средней теплоемкости на интервале Т₁ – Т₂.

Если скорость изменяется существенно, то

. (15.17)

Для сжимаемого газа при наличии совершаемой газом технической работы L и работы сил трения L_тр уравнение Бернулли принимает вид

. (15.18)

Еще раз отметим, что здесь L – это работа, совершаемая газом. При L >0 часть внутренней энергии уходит во внешнюю среду вместе с работой. Работа сил трения приводит к нагреву газа, но также и падению давления.

Учет изменения температуры газа за счет подвода к газу тепла учитывается характером термодинамического процесса, т.е. слагаемым . При изохорическом процессе, т.е. при постоянном объеме или, что то же самое, при постоянной плотности жидкости

. (15.19)

В изобарическом процессе, т.е. при и

. (15.20)

При изотермическом процессе, когда , имеем из уравнения состояния , или . Тогда

. (15.21)

Если процесс происходит по идеальной адиабате, для которой , тогда . Интеграл равен

(15.22)

В политропном процессе с показателем политропы n

(15.23)

Особое место в газовой динамике занимает идеальный адиабатический процесс, при котором отсутствует теплообмен с окружающей средой и трение. По этой причине в идеальном адиабатическом процессе энтропия газа остается неизменной и процесс является изоэнтропным.

Следует иметь в виду, что не всякий адиабатический процесс является изоэнтропным. Например, при течении газа в изолированной трубе процесс является адиабатным, теплообмена со средой нет, но вследствие трения энтропия газа увеличивается.

Если изменением потенциальной энергии можно пренебречь, и нет технической работы, а процесс является идеально адиабатным, то уравнение Бернулли принимает вид:

. (15.24)

Лекция 16. ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

Скорость распространения упругих возмущений в газе

Представим длинную трубу, в которой находятся два поршня, а пространство между поршнями занимает несжимаемая жидкость (рис.16.1).

При перемещении поршня А несжимаемая жидкость вызовет немедленно такое же перемещение поршня В, как если бы между ними было абсолютно твердое тело. Отсюда следует, что изменения давления в несжимаемой жидкости передаются с бесконечно большой скоростью.

Иначе обстоит дело в сжимаемой жидкости. При перемещении поршня А перед ним возникает уплотнение, которое передвигается с конечной скоростью, зависящей от состояния и свойств жидкости.

Обозначим площадь поперечного сечения трубы через S. Пусть за время dt поршень А переместился на величину, а вызванное им возмущение распространилось вдоль трубы на величину dx. Рассмотрим газ как упругую среду, для которой справедлив закон Гука (относительная упругая деформация прямо пропорциональна приложенной силе и обратно пропорциональна модулю упругости):

. (16.1)

Здесь F – приложенная сила, Е – модуль упругости газа. Так как в движение пришла часть газового объема длиной dx, а в результате перемещения поршня эта длина уменьшилась на, то относительная деформация составит

,

отсюда имеем

или

.

Согласно теореме импульсов изменение количества движения тела равно величине приложенного к нему импульсу, т.е. произведению силы на время:

.

В данном случае масса газа, приведенная в движение, равна , а ее скорость . Тогда имеем

или .

Здесь - скорость распространения возмущений в газовой среде. Тогда

. (16.2)

Модуль упругости Е обратно пропорционален коэффициенту сжимаемости , где

.

Тогда

Допустим, в начальный момент времени объем жидкой частицы плотностью  был равен V, а за время dt он изменился и стал равным . но вместе с объемом должна измениться плотность и стать равной . Так как начальная масса частицы должна остаться неизменной, то

.

Пренебрегая малыми второго порядка, получим

.

Отсюда

.

Скорость распространения возмущений в сжимаемом газе

.

Распространение звука есть процесс распространения малых возмущений давления, величина с является скоростью звука в сжимаемой жидкости. Можно записать

,

Откуда коэффициент сжимаемости

. (16.3)

Отсюда следует, что скорость звука также является характеристикой сжимаемости среды. Чем более сжимаема среда, тем ниже скорость звука. В абсолютно несжимаемой жидкости при  = 0 скорость звука становится бесконечной.

Распространение малых возмущений давления происходит быстротечно, поэтому можно пренебречь теплообменом с окружающей средой и считать его адиабатным, для которого

.

Отсюда

.

Тогда

. (16.4.)