Интенсивность вихря. Вторая теорема Гемгольца

С вихревой трубкой связано понятие интенсивности вихря, которое достаточно абстрактно и вводится чисто формально.

В математике потоком векторного поля или потоком вектора через поверхность называют интеграл по поверхности

,

где А_n – проекция вектора на нормаль к площадке ds. Это произведение в соответствии с рис.9.2. можно представить в виде

.

Очевидно, что поток вектора через поверхность есть величина скалярная и зависит от ориентации площадки. Если поверхность расположена так, что поток пересекает ее инзутри наружу, то Q > 0, если снаружи внутрь, то Q < 0.

Физический смысл потока зависит от вида поля. Если рассматривается поле скоростей , то есть объемный расход жидкости через элементарную площадку. Если , то dQ представляет массовый расход жидкости.

Интенсивностью вихря называется поток вектора через выделенную площадку, т.е.

. (9.3)

Иногда в качестве интенсивности вихря рассматривают поток вектора угловой скорости

. (9.4)

Для того, чтобы различать эти величины, будем называть интенсивностью завихренности. Очевидно, что

. (9.5)

Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского

и перейдем от поверхностного интеграла к объемному.

В нашем случае

. (9.6)

Раскроем выражение, стоящее под знаком интеграла, имея в виду, что проекции вектора вихря имеют вид:

Получим для подинтегральной функции

.

Этот результат соответствует известному в теории поля соотношению

.

Отсюда следует, что (5.20) можно представить в виде

. (9.7)

Рассмотрим вихревой шнур, ограниченный поверхностями вихревой трубки S_бок и двумя поверхностями S₁ и S₂, пересекающими сечение вихревой трубки, как показано на рис.9.3.

Так как вектор направлен по касательной к боковой поверхности и, следовательно, перпендикулярен к нормали этой поверхности, то на боковой поверхности . Поэтому уравнение (5.21) можно представить в виде

или

.

Для вихревой трубки малого сечения можно принять, что угловая скорость одинакова по всему сечению, т.е.

; .

Тогда

. (9.8)

В общем случае имеем

. (9.9)

Этот результат отражает сущность второй теоремы Гемгольца:

Интенсивность вихревого шнура на всей его протяженности остается постоянной.

Отсюда следует другой важный вывод, сделанный Гемгольцем в 1855 г.:

Так как произведение остается неизменным, то уменьшение площади сечения вихревой трубки S должно приводить к увеличению окружной скорости. Но при стремлении площади сечения вихревой трубки к нулю угловая скорость должна увеличиваться до бесконечности, что физически невозможно. Следовательно, вихрь не может закончиться в жидкости острием.

Таким образом, возможными формами существования вихрей являются следующие:

1. Концы вихря совпадают, т.е. вихревая трубка замыкается сама на себя и образует вихревое кольцо, вид которого показан на рис.9.4.

Для демонстрации подобных вихрей используется устройство, называемое ящиком Томпсона и изображенное на рис.9.5.

Устройство представляет собой ящик с упругими стенками и круглым отверстием. Если его заполнить дымом и ударить по стенке, то из отверстия вылетит вихревое кольцо. При этом можно наблюдать очень интересное явление. Если поднести к вихревому кольцу острие ножа, то кольцо отклонится, что свидетельствует о том, что разрезать вихрь ножом невозможно. Н.Е. Жуковский в 1894 г. аналитически доказал этот факт.

2. Концы вихря лежат либо на границах рассматриваемой жидкости, либо один конец опирается на границу жидкости, а другой – на твердую стенку. К этому типу вихрей принадлежат воздушные и водяные смерчи.

Рис.9.7. Установка, искусственно создающая водяной вихрь.

Водяной вихрь такого типа можно создать на установке, показанной на рис.9.7 и описанной Н.Е. Жуковским. Если над чаном с водой установить на расстоянии около 3 м полый шкив диаметром 1 м с несколькими перегородками, расположенными в радиальных плоскостях, и шкив быстро вращать, то шкив начнет закручивать воздух. На поверхности воды в чане давление воды понизится, вода начнет подниматься вверх и вращаться вместе с воздухом. Через некоторое время над чаном образуется водяной столб, внизу сплошной, а вверху образованный из капелек.