27. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M_о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR_x = R_y = R_z = 0 и M_x = M_y = M_z = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

28. Условия равновесия произвольной плоской системы сил в трех формах.

Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

 åF_ix = 0; åF_iy = 0; åm₀(F_i) = 0.

Вторая форма условий равновесия:Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

  åm_A(F_i) = 0; åm_B(F_i) = 0; åF_ix = 0.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

•   åm_A(F_i) = 0; åm_B(F_i) = 0; åm_С(F_i) = 0.

29. Условия равновесия параллельных сил.

Условия равновесия для плоской системы параллельных силимеют вид:

R  0, Mo  0.

    Из них следуют две формы аналитических условий равновесия для системы параллельных сил на плоскости.

1. Основная форма условий равновесия.

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо чтобы сумма проекции на ось параллельным силам и сумма моментов всех сил =0

∑𝑚𝐴(𝐹𝑘)=0

∑𝑚𝐵(𝐹𝑘)=0

    2. Вторая форма условий равновесия:

Для плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно чтобы сумма моментов всех сил относительно произвольных центров расположены в плоскости системы сил была = 0.

∑𝑋𝐴=0 XA-Fcosα=0

∑𝑌𝐴=0 YA-Fsinα=0

∑𝑚𝐴(𝐹𝑛)=0 𝑚𝐴+𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼𝑏−𝐹𝑠𝑖𝑛αa=0

30. Общие формулы для координат центра тяжести твердого тела.

=

=

=

31. Формулы для определения координат центра тяжести однородных тел.

32. Метод симметрии определения положения центра тяжести.

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести G_i с абсциссой y_i = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой y_i = -a, тогда:

y_C = Σ(G_ix_i)/ΣG_i = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.

Аналогично можно доказать и следующие положения:

• Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

• Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;

• Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.