50. Уравнения движения плоской фигуры или уравнения плоского движения тела.

51. Разложение движения плоской фигуры на простейшие движения.

Движение плоской фигуры можно разложить на поступательное, вместе с полюсом, и вращательное вокруг полюса. Полюсом называем произвольную точку, выбранную из каких-либо соображений для описания плоского движения.

Для доказательства рассмотрим два положения плоской фигуры в моменты времени  и  (рис.1.10). Переместим фигуру поступательно из положения  в положение  . При этом точка  описывает такую же траекторию как и точка  . Затем повернём фигуру вокруг точки  на угол  так, чтобы точка  заняла положение  . Перевод фигуры из начального положения в конечное можно произвести различными способами, выбирая за полюс вместо точки А любую другую, например, точку В. Заметим, что при этом поворот будет осуществляться на тот же угол и в том же направлении. Т. е. последнее из уравнений движения плоской фигуры является инвариантным (независимым) от выбора полюса. Значит и угловая скорость как производная от угла поворота не зависит от выбора полюса. Поступательное движение можно принять за переносное, а вращательное — за относительное.

52. Теорема о скорости любой точки плоской фигуры как сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса. Следствия.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Доказательство: Пусть плоская фигура движется в её плоскости.

Примем точку О за полюс.

Считаем поступательное движение фигуры вместе с полюсом за переносное, а вращательное вокруг полюса за относительное. Тогда скорость точки А

, так как переносное движение поступательное, следовательно, переносные скорости всех точек равны скорости полюса.

.

на прямую, соединяющую эти точки.

Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны.

Спроецируем на АВ:

53. Мгновенный центр скоростей. Теорема существования и единственности мцс.

) Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Теорема: в каждый момент движения фигуры, когда ее существует МЦС причем единственный .

В каждый момент движения плоской фигуры, когда угловая скорость ≠0, существует причем единственный мгновенный центр скоростей.

54. Теорема об определении скорости точек плоской фигуры с помощью мцс. Следствия.

) Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко   убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости  и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору  и Вb к вектору , и будет мгновенным центром скоростей  так как . В  самом  деле,  если  допустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор  должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Рис.6

 

Если теперь в момент времени  взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры  определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что   точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.