Задачник / Глава 11 (298-322)

Глава 11 Расчет стержневых систем по предельной нагрузке

11.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

11.1.1 Основные понятия. Различие между расчетами по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке

При расчете по допускаемому напряжению исходной посылкой является предположение, что опасное состояние системы наступает тогда,

когда хотя бы в одной точке напряжение достигает предела текучести т ; материал начинает течь (если он пластичен) или напряжение становится равным временному сопротивлению в ; материал разрушается (если он хрупок).

Условие прочности по допускаемому напряжению записывается так:max , где max – напряжение в наиболее загруженной точке стерж-

невой системы; 0 / k – допускаемое напряжение, равное опасному напряжению ( т или в в зависимости от того, пластичен или хрупок ма-

териал), уменьшенному в k раз, где k – коэффициент запаса прочности. Однако и теоретические, и экспериментальные исследования пока-

зывают: предположение о том, что прочность в одной точке системы предопределяет прочность всей системы в целом, справедливо лишь для хрупких материалов. Если же материал имеет предел текучести, может течь или представляет собой некоторую конструкцию, например, из армированного сталью бетона, то опасное состояние в одной точке системы в большинстве случаев не совпадает с опасным состоянием всей системы в целом, которое наступает при значительно больших нагрузках.

На этом различии и основан расчет по предельным нагрузкам. Условие прочности в этом случае записывается так: Fmax F , где Fmax –

наибольшая (обобщенная) нагрузка, приложенная к системе; F Fпр / k ,

где Fпр – предельная величина обобщенной нагрузки, при которой вся

система (конструкция) выходит из строя (теряет несущую способность, превращается в механизм); k – коэффициент запаса прочности.

При предельной нагрузке текучесть должна возникнуть не в одной точке конструкции, а по всему поперечному сечению элемента (должен возникнуть пластический шарнир). Если же конструкция статически неопределима, то таких сечений, где материал полностью течет (пластических

298

шарниров), должно образоваться два или более, в зависимости от степени статической неопределимости исходной системы и ее расчетной схемы и загрузки.

11.1.2 Расчет статически определимых систем по предельной нагрузке

Пример 11.1.1. Определить несущую способность стержня (рис. 11.1) из пластичного материала, имеющего предел текучести т , ко-

эффициент запаса прочности k, допускаемое напряжение , площадь

поперечного сечения стержня А. Расчет произвести по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке. Собственным весом пренебречь. Сравнить результаты расчетов.

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению:

мая нагрузка, полученная из расчета по предельной нагрузке.

Таким образом, результаты расчета по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке оказались одинаковыми:

F F F A.

Вывод. В статически определимых стержневых системах, элементы которых работают на центральное растяжение (сжатие), опасные состояния при расчете по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке

299

всегда совпадают. Поэтому расчет по предельной нагрузке в этом случае не дает эффекта и применять его нет смысла.

Пример 11.1.2. Подобрать двутавровое сечение балки (рис. 11.2) из условия расчета по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке.

F = 50 кН; q = 20 кН/м; l = 4 м; а = 1 м; т = 240 МПа; k = 1,5;= 160 МПа.

Рис. 11.2

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению.

M max 18,91 кНм.

Построенные эпюры Q и M представлены на рисунке 11.3. Подбираем сечение:

300

q1 = 31,5 кг (ГОСТ 8239-89).

б) Расчет по предельной нагрузке.

Опасное состояние в статически определимой балке в целом достигается не тогда, когда начинается текучесть в наиболее напряженной точке (рис. 11.4, а), а когда по мере дальнейшего роста внешней нагрузки пла-

стическое состояние постепенно охватывает все сечение балки и эп. принимает вид, представленный на рисунке 11.4, б, при этом зона развития пластичности – вблизи опасного сечения – на рисунке 11.4, в. Образуется так называемый пластический шарнир.

Из теории известно, что изгибающий момент при образовании пластического шарнира в балке с симметричным относительно оси x сечением

где Sп.с – статический момент половины площади сечения относительно оси x (рис.11.4, г);

n 2Sп.с – для прямоугольного сечения n = 1,5; для двутавра n = 1,16.

Wx

301

Рис. 11.4

Вид эпюры изгибающих моментов в статически определимой балке не зависит от того, работает балка в упругой стадии или упругопластической, когда в каком-то сечении наступает текучесть и образуется пластический шарнир.

Приравнивая максимальный изгибающий момент в заданной статически определимой балке к допускаемому, найдем требуемое значение момента сопротивления сечения:

Сравнивая результаты двух расчетов

302

mк1, 0,5 Wp 0,5 100 103 53 10 6 1,23 кНм. 16

б) Расчет по предельной нагрузке.

Из теории известно, что предельный крутящий момент, соответствующий текучести во всех точках наиболее загруженного сечения вала,

303

щий момент, найденный из расчета по предельной нагрузке, в 1,33 раза больше, чем полученный из расчета по допускаемому напряжению:

11.1.3 Расчет статически неопределимых систем по предельной нагрузке

Расчет статически неопределимых систем по предельной нагрузке имеет существенную особенность, отличающую его от расчета статически определимых систем. Эта особенность состоит в том, что эпюры внутренних усилий в статически определимых системах, работающих в упругой стадии, по которой ведется расчет по допускаемому напряжению, не изменяются при переходе системы в опасное состояние, соответствующее расчету по предельному состоянию (когда материал находится в пластическом состоянии, образуется пластический шарнир). В статически неопределимых системах переход материала от упругой стадии работы к упругопластической и, наконец, к пластической стадии сопровождается изменением соотношения внутренних силовых факторов на разных участках или в разных элементах системы, а следовательно, меняется и вид эпюр внутренних усилий. Убедимся во всем этом на примерах.

Пример 11.1.4. Определить несущую способность шарнирностержневой системы (рис. 11.6, а), если а = 1,5 м; b = 3 м; с = 4 м; h = 2 м;

α = 60о; А = 10 см2; материал стержней 1 и 2 – сталь, E 2 105 МПа;160 МПа; т 240 МПа; k = 1,5; стержень CВ – абсолютно жест-

кий.

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению.

Материал стержней в этом случае работает в упругой стадии. Уравнения равновесия стержня СВ (рис. 11.6, б):

304

305

Рис. 11.6

В проведенном расчете учитывалась прочность наиболее загруженного стержня 1, в то же время в стержне 2 сохраняется большой запас прочности. Напряжение в нем значительно ниже допускаемого.

б) Расчет по предельной нагрузке.

Если продолжать загружение системы, то сначала будет достигнут предел текучести в стержне 1, усилие в нем станет равным N1т т A; с этого момента система становится статически определимой. Дальнейшее увеличение силы F вызовет увеличение напряжения во втором стержне, который работает упруго, в то время как первый стержень течет и усилие в нем сохраняется постоянным. Когда напряжение во втором стержне тоже достигнет предела текучести, система станет геометрически изменяемой и начнет поворачиваться относительно точки C при неизменной силе. При

306

Из уравнения равновесия MC 0 (рис. 11.6, г) найдем

т Aс т 2Aasin Fпрb 0;

Таким образом, наибольшая нагрузка на систему, найденная из расчета заданной статически неопределимой шарнирно-стержневой системы по предельному состоянию, оказалась на 39,7% больше, чем при расчете по допускаемому напряжению. Вспомним, что в статически определимых системах, элементы которых работают на растяжение (сжатие), применение расчета по предельной нагрузке не дает никакой экономии (см. пример

11.1.1).

Пример 11.1.5. Определить допускаемую нагрузку на систему (рис. 11.7) двумя методами: из расчета по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке. A = 20 см2; а = 2 м; b = 1 м; материал – сталь;т 240 МПа; коэффициент запаса прочности k = 1,5; 160 МПа.

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению.

Заданная система один раз статически неопределима. На рисунке 11.7, б, в, г показаны соответственно основная система, эпюры от заданных сил

(эп. NF) и от единичного значения «лишней» неизвестной (эп. N1 ). Составляем каноническое уравнение и решаем его:

307