Задачник / Глава 11 (298-322)

Из условия прочности нижнего участка стержня

Из условия прочности верхнего участка стержня

Из двух результатов выбираем меньший:

F 800 кН.

Рис. 11.7

б) Расчет по предельной нагрузке.

Предельное состояние системы наступит, когда напряжение в сечениях верхнего и нижнего участков стержня достигнет предела текучести (рис. 11.7, д). Тогда из условия равновесия

Fпр т A т 2A 3 т A.

308

Отсюда

Допускаемая нагрузка, определенная расчетом по предельной нагрузке, оказалась в 2,7 раза больше, чем найденная по допускаемому напряжению.

Пример 11.1.6. Определить несущую способность стержня кругового поперечного сечения, жестко защемленного по концам и загруженного крутящим моментом (рис. 11.8, а). а = 40 см; b = 60 см; d = 50 мм; мате-

100МПа; т 150 МПа; k = 1,5.

Применим два метода расчета – по допускаемому напряжению и по предельной нагрузке.

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению.

На рисунке 11.8, б, в, г представлены основная система и эпюры крутящих моментов от заданной нагрузки (эп. Mк,F ) и от единичного значения «лишней»

неизвестной ( Mк ). Составляем каноническое уравнение и решаем его:

На рисунке 11.8, д изображена эпюра крутящих моментов в заданной системе. Используя условие прочности при кручении, находим mк :

309

mк , сначала достигнем предела текучести на участке а в точках сече-

ния у поверхности стержня (рис. 11.9, а). Продолжая нагружение, получим напряженное состояние, изображенное на рисунке 11.9, б, – весь участок а стержня течет, но нагружение можно продолжить, так как участок b

310

Пример 11.1.7. Определить несущую способность статически неопределимой балки, изображенной на рисунке 11.10, а. Расчет произвести по

311

допускаемому напряжению и по предельной нагрузке. а = 1 м; b = 2 м; двутавр № 24; 160 МПа; т 240 МПа; k = 1,5.

RB=Х1

Рис. 11.10

Решение.

а) Расчет по допускаемому напряжению.

312

Заданная балка один раз статически неопределима. Основная система выбрана в виде консольной балки (рис. 11.10, б). Условие совместности деформаций в канонической форме выражает равенство нулю прогиба в точке В:

X1 11 1F 0.

Находим коэффициенты 1F и 11 – перемещения от заданной нагрузки и от единичного значения «лишней» неизвестной:

Эпюра изгибающих моментов от «лишней» неизвестной изображена на рисунке 11.10, д. Суммарная эпюра изгибающих моментов приведена на рисунке 11.10, е. Дифференцируя ее, получаем эпюру поперечных сил

б) Расчет по предельной нагрузке.

При увеличении нагрузки изгибающие моменты во всех сечениях будут возрастать пропорционально нагрузке F (рис. 11.11, а), пока в заделке не образуется пластический шарнир с Mт 2Sп.с т nWx т . С этого

момента система становится статически определимой (рис. 11.11, б), но она еще не теряет несущей способности. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к росту изгибающего момента под силой F и возникновению в этом сечении второго пластического шарнира (рис. 11.11, в). Система обращается в геометрически изменяемую – образовались три шарнира в одном пролете.

Из условия равновесия статически определимой балки на двух опорах изгибающий момент под силой (рис. 11.11, г)

M max Fпрab , a b

313

но этот же момент, выраженный через M т (рис. 11.11, б, в), равен 53 M т .

Приравнивая их, находим

Заданная система два раза статически неопределима. Примем основную систему в виде балки на двух шарнирных опорах (рис. 11.12, б). Эквивалентная система представлена на рисунке 11.12, в.

314

Из симметрии балки и нагрузки можно сделать заключение о равен-