Примечания

1. Кому-то, возможно, покажется, что это совершенно «очевидно» и уж никак не может служить предметом спора среди математиков! Проблема, однако, существует, и возникает она в связи с понятием «существования» применительно к большим бесконечным множе­ствам. (См., например, [349], [328], [265].) На примере парадокса Рассела мы уже убедились, что в таких вопросах необходимо про­являть особую осторожность. Согласно одной точке зрения, множество не считается необходи­мо существующим, если нет четкого правила (не обязательно вы­числимого), устанавливающего, какие элементы в это множество следует включать, а какие — нет. Как раз этого правила аксиома выбора нам и не предоставляет, поскольку в ней нет правила, опре­деляющего, какой элемент следует взять из каждого множества со­вокупности. (Некоторые из следствий аксиомы выбора интуитивно не понятны и почти парадоксальны. Вероятно, в этом и состоит одна из причин возникновения разногласий по данному вопросу. Более того, я не совсем уверен, какой позиции придерживаюсь в этом отношении я сам!)

2. В заключительной главе своей книги, написанной в 1966 году, Коэн подчеркивает, что, хотя он и показал, что континуум-гипотеза яв­ляется НЕРАЗРЕШИМОЙ в рамках процедур системы ZF, вопрос о том, является ли она действительно истинной, был оставлен им без внимания, — и выдвигает некоторые предположения отно­сительно того, каким образом этот вопрос можно действительно решить\ То есть Коэн, со всей очевидностью, не считает, что выбор между принятием или непринятием континуум-гипотезы есть пред­мет абсолютно произвольный. Это расходится с нередко выска­зываемым относительно следствий из результатов Гёделя—Коэна мнением, суть которого сводится к тому, что существуют многочис­ленные «альтернативные теории множеств», для математики в рав­ной степени «справедливые». Такие замечания свидетельствуют о том, что Коэн, подобно Гёделю, является подлинным платонистом, для которого вопросы математической истины ни в коем случае не произвольны, но абсолютны. Очень похожих взглядов придержи­ваюсь и я, см. §8.7.

3. См., например, [201], [37].

4. См., например, различные комментарии, приведенные в Behavioral and Brain Sciences, 13 (1990), 643-705.

5. Терминология была предложена Хофштадтером в [201]. Согласно «другой» теореме Гёделя — так называемой теореме о полноте, — подобные нестандартные модели существуют всегда.

6. Вообще говоря, это зависит от того, какие именно утверждения считать частью так называемой «евклидовой геометрии». Если пользоваться обычной терминологией логиков, то система «евклидовой геометрии» включает только утверждения некоторого частного вида, причем оказывается, что истинность или ложность этих утвер­ждений можно определить с помощью алгоритмической процедуры, отсюда и утверждение, что евклидову геометрию можно описать с помощью формальной системы. Однако в других интерпретациях обычная «арифметика» тоже могла бы считаться частью «евклидовой геометрии», что допустило бы классы утверждений, которые невозможно разрешить алгоритмическим путем. То же самое про­изошло бы, если бы мы рассмотрели задачу о замощении плоскости полиомино как составляющую евклидовой геометрии, что, казалось бы, вполне естественно. В этом смысле описать геометрию Евклида формально ничуть не проще, чем арифметику!

7. См. комментарий М.Дэвиса в [73].

8. См. также [230], [231] и [162].

9. О некоторых проблемах, с которыми сталкивались компьютерные системы, пытавшиеся самостоятельно «делать математику», можно прочесть у Д. Фридмана [123]. Отметим, что в общем случае такие системы не слишком преуспели. Они по-прежнему остро нуждают­ся в помощи человека.