1.21. Является ли невычислимым математическое воображение?

Говоря о мысленной визуализации, мы ни разу не указали явно на невозможность воспроизведения этого процесса вычис­лительным путем. Даже если визуализация действительно осу­ществляется посредством какой-то внутренней аналоговой си­стемы, что мешает нам предположить, что должна существовать, по крайней мере, возможность смоделировать поведение такого аналогового устройства?

Дело в том, что «предметом» рассматриваемой выше «ви­зуализации» является «визуальное» в буквальном смысле этого слова, т. е. мысленные образы, соответствующие, как нам пред­ставляется, сигналам, поступающим в мозг от глаз. В общем же случае мысленные образы вовсе не обязательно носят такой бук­вально «визуальный» характер — например, те, что возникают, когда мы понимаем смысл какого-то абстрактного слова или при­поминаем музыкальную фразу. Согласитесь, что мысленные образы человека, слепого от рождения, вряд ли могут иметь прямое отношение к сигналам, которые его мозг получает от глаз. Иными словами, под «визуализацией» мы будем в дальнейшем подра­зумевать скорее процессы, связанные с «осознанием» вообще, нежели те, что имеют непосредственное отношение к системе органов зрения. Честно говоря, мне не известен ни один довод, непосредственно указывающий на вычислительную (или какую-либо иную) природу нашей способности к визуализации именно в буквальном смысле этого слова. Моя же убежденность в том, что процессы «буквальной» визуализации действительно являются невычислимыми, проистекает из явно невычислительного харак­тера других видов осознания. Не совсем понятно, каким образом можно произвести прямое доказательство невычислимости ис­ключительно для геометрической визуализации, однако если бы удалось убедительно доказать невычислимость хотя бы неко­торых форм осмысленного осознания, то такое доказательство дало бы, по меньшей мере, серьезные основания полагать, что вид осознания, ответственный за геометрическую визуализацию, также должен иметь невычислительный характер. По-видимому, нет особой необходимости проводить четкую границу между раз­личными проявлениями феномена сознательного понимания.

Переходя от общего к частному, я утверждаю, что наше по­нимание, например, свойств натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4,...) носит явно невычислительный характер. (Можно даже сказать, что само понятие натурального числа и есть, в некотором смысле, форма негеометрической «визуализации».) В воспользовавшись упрощенным вариантом теоремы Гёделя (см. пояснение к возражению _Q15), я покажу, что это понимание невозможно описать каким бы то ни было конечным набором правил, а значит, невозможно и воспроизвести с помощью вычислительных мето­дов. Время от времени нас радуют сообщениями о том, что ту или иную компьютерную систему «обучили» «пониманию» концеп­ции натурального числа. Однако, как мы вскоре увидим, этого просто не может быть. Именно осознание того, что в действи­тельности может означать слово «число», дает нам возможность верно понять заключенную в нем идею. А располагая верным пониманием, мы — по крайней мере, в принципе — можем давать верные ответы на целый ряд вопросов о числах, буде нам таковые зададут, в то время как ни один конечный набор правил этого обеспечить не в состоянии. Имея в своем распоряжении одни только правила при полном отсутствии непосредственного осо­знания, управляемый компьютером робот (такой, например, как «Deep Thought»; см. ) неизбежно окажется лишен тех способностей, в которых ни один из людей никаких ограничений не испытывает; хотя если снабдить робота достаточно умными пра­вилами поведения, то он, возможно, поразит наше воображение выдающимися интеллектуальными подвигами, многие из которых далеко превзойдут способности обычного человека в каких-то конкретных, достаточно узкоспециальных областях. Возможно даже, что ему удастся на некоторое время одурачить нас, и мы поверим, что и он способен на осознание.

Следует отметить, что всякий раз, как мы получаем дей­ствительно эффективную цифровую (или аналоговую) компью­терную модель какой-либо внешней системы, это почти все­гда происходит благодаря глубокому пониманию человеком тех или иных основополагающих математических идей. Взять хотя бы цифровую модель геометрического движения твердого тела. Выполняемые при таком моделировании вычисления опираются, главным образом, на открытия великих мыслителей семнадцатого века — таких, например, как французские математики Декарт, Ферма и Дезарг, — которым мы обязаны идеями системы коор­динат и проективной геометрии. Существуют и модели, описыва­ющие движение куска веревки или струны. Как выясняется, гео­метрические идеи, необходимые для понимания особенностей по­ведения струны — ее так называемой «заузленности», — весьма сложны и относительно молоды. Большинство фундаментальных открытий в этой области были сделаны только в двадцатом веке. Каждый из нас без особого труда способен экспериментальным путем — т. е. посредством несложных манипуляций руками и приложения некоторого здравого смысла — убедиться в наличии либо отсутствии на замкнутой, но спутанной веревочной петле узлов; вычислительные же алгоритмы для достижения того же результата оказываются на удивление сложными и малоэффек­тивными.

Таким образом, эффективное цифровое моделирование та­ких процессов является в основе своей нисходящим и во многом определяется пониманием и интуитивными прозрениями челове­ка. Вероятность того, что в человеческом мозге при визуализа­ции происходит нечто подобное, очень и очень невелика. Более правдоподобным представляется предположение о том, что существенный вклад в этот процесс вносят те или иные восходящие процедуры, а воспроизводимые в результате «визуальные обра­зы» требуют предварительного накопления немалого «опыта». Я, впрочем, не слышал о сколько-нибудь серьезных исследова­ниях этого вопроса именно с точки зрения восходящих проце­дур (например, о разработках искусственных нейронных сетей). По всей видимости, подход, целиком основанный на процедурах восходящего типа, даст весьма скудные результаты. Сомневаюсь, что можно построить более или менее удачную модель геометри­ческого движения твердого тела или топологических особенно­стей движения куска струны при отсутствии подлинного понима­ния обусловливающих эти движения законов.

Какие же физические процессы следует считать ответствен­ными за осознание — за осознание, которое, судя по всему, необ­ходимо для всякого подлинного понимания? Действительно ли оно не допускает численного моделирования, как того требует точка зрения ? Можно ли, в таком случае, надеяться на какое бы то ни было постижение этого предполагаемого физического процесса — хотя бы в принципе? Думаю, что можно, и более чемуверен, что точка зрения представляет собой подлинно научное допущение — просто нужно приготовиться к тому, что наши науч­ные критерии и методы, возможно, претерпят не слишком замет­ные, но весьма существенные изменения. Нужно быть готовым к тому, что объекты наших исследований будут принимать самые неожиданные формы и возникать в таких областях подлинно на­учного знания, которые, на первый взгляд, никакого отношения к делу не имеют. Читателя, который намерен продолжить чтение этой книги, я прошу сохранять открытость восприятия и вместе с тем внимательно следить за рассуждениями и представляемы­ми научными свидетельствами, даже если они вдруг покажутся ему несколько сомнительными с точки зрения здравого смысла. Будьте готовы немного поразмыслить над предлагаемыми дово­дами, а я, в свою очередь, приложу все усилия к изложению их в максимально доступном виде. Уверен, что, настроившись подоб­ным образом, мы с вами преодолеем все преграды.

В оставшихся главах первой части я не буду касаться физи­ки и возможных видов биологической активности, которые спо­собны обусловить невычислимость, требуемую точкой зрения . Этими предметами мы займемся во второй части книги. Для нача­ла нам предстоит решить вопрос об общей целесообразности поисков невычислимых процессов. Пока что вся целесообразность проистекает лишь из моей уверенности в том, что при сознатель­ном понимании мы действительно выполняем какие-то невычис­лимые операции. Эту уверенность необходимо обосновать, для чего нам придется обратиться к математике.