- •Роджер пенроуз
- •1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир?
- •1.3. Вычисление и сознательное мышление
- •1.4. Физикализм и ментализм
- •1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры
- •1.6. Противоречит ли точка зрения в тезису Черча—Тьюринга?
- •1.8. Аналоговые вычисления
- •1.9. Невычислительные процессы
- •1.10. Завтрашний день
- •1.11. Обладают ли компьютеры правами и несут ли ответственность?
- •1.12. «Осознание», «понимание», «сознание», «интеллект»
- •1.13. Доказательство Джона Серла
- •1.14. Некоторые проблемы вычислительной модели
- •1.15. Свидетельствуют ли ограниченные возможности сегодняшнего ии в пользу ?
- •1.16. Доказательство на основании теоремы Гёделя
- •1.17. Платонизм или мистицизм?
- •1.18. Почему именно математическое понимание?
- •1.19. Какое отношение имеет теорема Гёделя к «бытовым» действиям?
- •1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реальность
- •1.21. Является ли невычислимым математическое воображение?
- •Примечания
- •2 Геделевское доказательство
- •2.1. Теорема Гёделя и машины Тьюринга
- •2.2. Вычисления
- •2.3. Незавершающиеся вычисления
- •2.4. Как убедиться в невозможности завершить вычисление?
- •2.5. Семейства вычислений; следствие Гёделя — Тьюринга
- •2.6. Возможные формальные возражения против
- •2.7. Некоторые более глубокие математические соображения
- •2.8. Условие -непротиворечивости
- •2.9. Формальные системы и алгоритмическое доказательство
- •2.10. Возможные формальные возражения против (продолжение)
- •Примечания
- •Приложение а: геделизирующая машина тьюринга в явном виде
- •3 О невычислимости в математическом мышлении
- •3.1. Гёдель и Тьюринг
- •О психофизи(ологи)ческой проблеме
- •Р.Пенроуз. Тени ума: в поисках потерянной науки о сознании. Penrose r. Shadows of the mind: a search for the missing science of consciousness. - Oxford, 1994. - XVI, 457 p.
2.4. Как убедиться в невозможности завершить вычисление?
Мы установили, что вычисления могут как успешно завершаться, так и вообще не иметь конца. Более того, в тех случаях, когда вычисление завершиться в принципе не может, это его свойство иногда оказывается очевидным, иногда не совсем очевидным, а иногда настолько неочевидным, что ни у кого до сих пор не достало сообразительности однозначно такую невозможность доказать. С помощью каких методов математики убеждают самих себя и всех остальных в том, что такое-то вычисление не может завершиться? Применяют ли они при решении подобных задач какие-либо вычислительные (или алгоритмические) процедуры? Прежде чем мы приступим к поиску ответа на этот вопрос, рассмотрим еще один пример. Он несколько менее очевиден, чем (С), но все же гораздо проще (В). Возможно, нам удастся попутно получить некоторое представление о том, с помощью каких средств и методов математики приходят к своим выводам. В предлагаемом примере участвуют числа, называемые шестиугольными:
1,7, 19,37,61,91, 127, ...,
иными словами, числа, из которых можно строить шестиугольные матрицы (пустую матрицу на этот раз мы не включаем):
Каждое такое число, за исключением начальной единицы, получается добавлением к предыдущему числу соответствующего числа из ряда кратных 6:
6, 12, 18,24, 30,36, ....
Это легко объяснимо, если обратить внимание на то, что каждое новое шестиугольное число получается путем окружения предыдущего числа шестиугольным кольцом
причем число горошин в этом кольце обязательно будет кратно 6, а множитель при каждом увеличении шестиугольника на одно кольцо будет возрастать ровно на единицу.
Вычислим последовательные суммы шестиугольных чисел, увеличивая каждый раз количество слагаемых на единицу, и посмотрим, что из этого получится.
1 = 1, 1 + 7 = 8, 1 + 7 + 19 = 27,
1 + 7 + 19 + 37 = 64, 1 + 7+19 + 37 + 61 = 125.
Что же особенного в числах 1, 8, 27, 64, 125? Все они являются кубами. Кубом называют число, умноженное само на себя трижды:
1 = 13 = 1 x 1 x 1, 8 = 23 = 2 x 2 x 2, 27 = 33 = 3 x 3 x 3,
64 = 43 = 4 x 4 x 4, 125 = 53 = 5 x 5 x 5, ....
Присуще ли это свойство всем шестиугольным числам? Попробуем следующее число. В самом деле,
1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 = 6 x 6 x 6 = 63.
Всегда ли выполняется это правило? Если да, то никогда не завершится вычисление, необходимое для решения следующей задачи:
(Е) Найти последовательную сумму шестиугольных чисел, начиная с единицы, не являющуюся кубом.
Думается, я сумею убедить вас в том, что это вычисление и в самом деле можно выполнять вечно, но так и не получить искомого ответа.
|
|
|
|
Прежде всего отметим, что число называется кубом не просто так: из соответствующего количества точек можно сложить трехмерный массив в форме куба (такой, например, как на рис. 2.1). Попробуем представить себе построение такого массива в виде последовательности шагов: вначале разместим где-нибудь угловую точку, а затем будем добавлять к ней, одну за другой, особые конфигурации точек, составленные из трех «плоскостей» — задней стенки, боковой стенки и потолка, как показано на рис. 2.2.
Рис. 2.1 Сферы, уложенные в кубический массив.
А теперь посмотрим с другой стороны
Рис. 2.2. Разберем куб на части — каждая со своей задней стенкой, боковой стенкой и потолком.
Посмотрим теперь на одну из наших трехгранных конфигураций со стороны, т. е. вдоль прямой, соединяющей начальную точку построения и точку, общую для всех трех граней. Мы увидим шестиугольник, подобный тому, что изображен на рис. 2.3. Точки, из которых складываются эти увеличивающиеся в размере шестиугольники, представляют собой, в сущности, те же точки, что образуют полный куб. То есть получается, что последовательное сложение шестиугольных чисел, начиная с единицы, всегда будет давать число кубическое. Следовательно, можно считать доказанным, что вычисление, требуемое для решения задачи (Е), никогда не завершится.
Рис. 2.3. Каждую часть построения можно рассматривать как шестиугольник.
Кто-то, быть может, уже готов упрекнуть меня в том, что представленные выше рассуждения можно счесть в лучшем случае интуитивным умозаключением, но не формальным и строгим математическим доказательством. На самом же деле, перед вами именно доказательство, и доказательство вполне здравое, а пишу все это я отчасти и для того, чтобы показать, что осмысленность того или иного метода математического обоснования никак не связана с его «формализованностью» в соответствии с какой-либо заранее заданной и общепринятой системой правил. Напомню, кстати, о еще более элементарном примере геометрического обоснования, применяемого для получения одного общего свойства натуральных чисел, — речь идет о доказательстве истинности равенства a * 6 = 6 * a, приведенном в § 1.19. Тоже вполне достойное «доказательство», хотя формальным его назвать нельзя.
Представленное выше рассуждение о суммировании последовательных шестиугольных чисел можно при желании заменить более формальным математическим доказательством. В основу такого формального доказательства можно положить принцип математической индукции, т.е. процедуру установления истинности утверждения в отношении всех натуральных чисел на основании одного-единственного вычисления. По существу, этот принцип позволяет заключить, что некое положение Р (n), зависящее от конкретного натурального числа n (например, такое: «сумма первых n шестиугольных чисел равна n3»), справедливо для всех n, если мы можем показать, во-первых, что оно справедливо для n = 0 (или, в нашем случае, для n = 1), и, во-вторых, что из истинности Р (n) следует истинность и Р(n + 1). Думаю, нет необходимости описывать здесь в деталях, как можно с помощью математической индукции доказать невозможность завершить вычисление (Е); тем же, кого данная тема заинтересовала, рекомендую попытаться в качестве упражнения выполнить такое доказательство самостоятельно.
Всегда ли для установления факта действительной незавершаемости вычисления достаточно применить некие четко определенные правила — такие, например, как принцип математической индукции? Как ни странно, нет. Это утверждение, как мы вскоре увидим, является одним из следствий теоремы Гёделя, и для нас крайне важно попытаться его правильно понять. Причем недостаточной оказывается не только математическая индукция. Недостаточным будет какой угодно набор правил, если под «набором правил» подразумевать некую систему формализованных процедур, в рамках которой возможно исключительно вычислительным путем проверить корректность применения этих правил в каждом конкретном случае. Такой вывод может показаться чересчур пессимистичным, ибо он, по-видимому, означает, что, несмотря на то, что вычисления, которые нельзя завершить, существуют, сам факт их незавершаемости строго математически установить невозможно. Однако смысл упомянутого следствия из теоремы Гёделя заключается вовсе не в этом. На самом деле, все не так уж и плохо: способность понимать и делать выводы, присущая математикам — как, впрочем, и всем остальным людям, наделенным логическим мышлением и воображением, — просто-непросто не поддается формализации в виде того или иного набора правил. Иногда правила могут стать частичной заменой пониманию, однако в полной мере такая замена не представляется возможной.