Эйнштейн А. - Теория относительности (R&C Dynamics) - 2000

80 Теория относительности

Итак, общеизвестные физические факты приводят нас к общему принципу относительности, т.е. к утверждению, что законы природы следует формулировать так, чтобы они выполнялись относительно произвольно движущихся систем координат.

Из сказанного выше непосредственно видно, что общий принцип относительности приводит к теории гравитационного поля. Именно, исходя из инерциальной системы К, в которой гравитационное поле отсутствует, и вводя движущуюся произвольным образом относительно К систему координат К', так что в системе К' существует точно известное гравитационное поле, мы можем определять общие свойства гравитационных полей по общим свойствам тех гравитационных полей, которые получаются при переходе к системе К'.

В то же время неверно обратное утверждение, что всякое гравитационное поле соответствующим выбором системы координат можно исключить, т.е. получить пространство, свободное от тяготения. Например, гравитационное поле Земли нельзя исключить никаким выбором системы координат. Для конечной области это возможно только в случае гравитационных полей весьма специфического вида. Но для бесконечно малой области координаты всегда можно выбрать таким образом, что гравитационное поле будет отсутствовать в ней. Тогда можно считать, что в такой бесконечно малой области выполняется специальная теория относительности. Тем самым общая теория относительности связывается со специальной теорией относительности, и результаты последней переносятся на первую.

Простое рассуждение показывает, что путь луча света, распространяющегося в инерциальной системе К прямолинейно и равномерно, в системе координат К', совершающей ускоренное поступательное движение, будет криволинейным. Отсюда мы заключаем, что лучи света искривляются гравитационным полем; в соответствии с принципом Гюйгенса это означает, что скорость света в гравитационных полях является функцией точки. Это следствие впервые было подтверждено во время солнечного затмения 1919 года.

Легко видеть далее, что, согласно общей теории относительности, гравитационное поле должно обладать значительно более сложной структурой, чем в теории Ньютона. Например, если система К' равномерно вращается относительно инерциальной системы К, то движение материальных точек относительно К' происходит таким образом, что ускорение зависит не только от их положения (центробежная сила), но и от скорости (сила Кориолиса).

Далее, исходя из лоренцовского сокращения, которое выше было получено как следствие специальной теории относительности, можно сделать вывод о том, что расположение практически жестких тел в системе К описывается геометрией Евклида неточно и что скорость хода одинаково устроенных часов является функцией точки. Другими словами, в общей теории относительности не существует геометрии и кинематики, независящих от физических процессов, так как свойства масштабов и часов определяются гравитационным полем.

С этим обстоятельством связано существенно более глубокое изменение, которое вносит в учение о пространстве и времени общая теория относительности, чем то, которое внесла специальная теория относительности. В последней, например, пространственные и временные координаты имеют непосредственный физический смысл: между двумя точками (х±, 2/1, z\) и (ж2? 2/2? ^г) данной системы координат можно уложить твердый масштаб, измеряющий длину

а разность времен £2 —t\ двух событий, происходящих в одной точке этой системы координат, непосредственно измеряется (одинаково устроенными для всех точек) часами, помещенными в этой точке (или в ее непосредственной окрестности). В общей теории относительности координатам уже нельзя приписывать такой непосредственный физический смысл. Хотя совокупность процессов, т.е. точечных событий, можно и здесь расположить в четырехмерном континууме (пространстве-времени), но свойства масштабов и часов (геометрия или вообще метрика) в этом континууме определяются гравитационным полем; последнее, таким образом, представляет собой физическое состояние пространства, одновременно определяющее тяготение, инерцию и метрику. В этом заключается углубление и объединение основ физики, достигнутое благодаря общей теории относительности.

В разительном контрасте с глубоким изменением, внесенным общей теорией относительности в основы физики, находится ничтожное различие между количественными предсказаниями новой и старой теорий. Кроме уже упомянутого искривления лучей света в гравитационном поле Солнца, обнаруживаемого только при полном солнечном затмении, следует назвать еще медленное вращение эллиптической орбиты планеты Меркурий (40 секунд за 100 лет), которое нашло объяснение в общей теории относительности, но не могло быть объяснено в теории

тяготения Ньютона. Наконец, общая теория относительности предсказывает незначительный сдвиг спектральных линий света, испускаемого атомами на поверхности Солнца или неподвижных звезд, по сравнению со спектральными линиями света, испускаемого на поверхности Земли. Наблюдениями установлено, что существование этого эффекта является весьма вероятным, но пока еще не вполне достоверным.

к основным уравнениям теории Максвелла-Лоренца; при этом я следовал работам Лоренца1 и своей2. В первой части, где излагаются исключительно кинематические основы теории, рассмотрены также некоторые задачи оптики (принцип Допплера, аберрация, увлечение света движущимися средами); на возможность такого способа рассмотрения мое внимание было обращено М. Лауэ в беседе с ним, а также работой последнего3 и работой (правда, требующей уточнения) И.Лауба4.

В третьей части развивается динамика материальной точки (электрона). Для вывода уравнений движения применен тот же метод, что и в названной выше работе автора. Сила определяется так же, как в работе Планка. Из этой работы взяты и преобразования уравнений движения материальной точки, которые так отчетливо выявляют аналогию уравнений движения с уравнениями классической механики.

Четвертая часть работы посвящена общим следствиям, к которым приводит теория относительности и которые касаются энергии и количества движения физических систем. Эти следствия были развиты в оригинальных работах автора5, а также М. Планка6. Однако здесь они получены новым способом, который, как мне кажется, позволяет особенно ясно проследить связь этих выводов с основами теории. Здесь рассматривается также зависимость энтропии и температуры от состояния движения; в вопросе об энтропии я полностью придерживаюсь только что цитированной работы Планка; температуру движущихся тел я определяю так же, как Мозенгайль в своей работе о движущейся полости, содержащей излучение7.

Важнейшим результатом четвертой части является следствие об инертной массе энергии. Этот результат наводит на мысль о том, не обладает ли энергия также тяжелой (гравитирующей) массой. Далее напрашивается вопрос, ограничен ли принцип относительности системами, движущимися без ускорения. Чтобы не оставить эти вопросы без разъяснения, я добавил к этой работе пятую часть, которая содержит новое релятивистское рассмотрение ускорения и гравитации.

1 Н. A. Lorentz. Versl. Kon. Akad. v. Wet. Amsterdam, 1904.

2A. Einstein. Ann. Phys., 1905, 17, 891.

3M.v. Laue. Ann. Phys., 1907, 23, 989.

4J. Laub. Ann. Phys., 1907, 32.

5A. Einstein. Ann. Phys., 1905, 18, 639; 1907, 23, 371.

6 M. Planck. Sitzungber. preufi. Akad. Wiss., 1907, XXIX. 7K.v.Mosengeil. Ann. Phys., 1907, 22, 867.

86О принципе относительности и его следствиях

I.Кинематическая часть

§1. Принцип постоянства скорости света. Определение времени. Принцип

относительности

Для описания какого-либо физического процесса мы должны уметь измерять происходящие в отдельных точках пространства изменения в пространстве и времени. Для пространственного измерения процесса бесконечно малой длительности (точечного события), происходящего в элементе пространства, необходимо иметь декартову систему координат, т.е. три жестких стержня, расположенных перпендикулярно друг другу и жестко между собой связанных, а также жесткий единичный масштаб1. Геометрия позволяет определить положение точки или место точечного события тремя числами (координатами ж, у, z)2. Для измерения времени точечного события нам нужны часы, которые покоятся относительно системы координат и в непосредственной близости от которых происходит точечное событие. Время точечного события определяется одновременным показанием часов.

Представим себе, что во многих точках расположены покоящиеся относительно системы координат часы. Пусть все они равноценны, т.е. разность показаний двух таких часов не изменяется. Если представить себе, что эти часы каким-то образом синхронизованы, то совокупность часов, расположенных на достаточно малых расстояниях, позволяет определить время любого точечного события при помощи ближайших часов.

Однако совокупность этих показаний часов еще не дает нам «время» в том виде, в каком оно нужно для физических целей. Кроме того, нам требуется еще рецепт, по которому эти часы могут быть сверены друг с другом.

Предположим теперь, что часы могут быть сверены так, что скорость распространения каждого светового луча в вакууме, измеренная с помощью этих часов, везде равна универсальной постоянной с при условии, что система координат является неускоренной. Пусть на рас-

1 Здесь и в дальнейшем вместо «жестких» тел можно говорить о твердых телах, не подверженных действию деформирующих сил.

2Для этого необходимы еще вспомогательные стержни (линейки, циркули).

стоянии г друг от друга расположены две покоящиеся относительно системы координат точки А и В, снабженные часами, и пусть tA — показание часов в А, когда в точку А прибывает распространяющийся через вакуум в направлении АВ световой луч, a tB — показание часов в точке В в момент прибытия светового луча в В; тогда, как бы ни двигались источник света, испустивший луч, и другие тела, всегда должно выполняться равенство

г

= с.

-t ЬА

Действительно ли осуществляется в природе сделанное здесь предположение, которое мы назовем «принципом постоянства скорости света»? Это ни в коем случае не очевидно; однако, по крайней мере для системы координат в определенном состоянии движения, оно стало вероятным благодаря подтверждениям, которые получила на опыте1 теория Лоренца2, основанная на предпосылке о существовании абсолютно покоящегося эфира.

Совокупность показаний всех сверенных указанным образом часов, которые можно представить себе покоящимися относительно системы координат и расположенными в заданных точках пространства, мы назовем временем, принадлежащим используемой системе координат, или, коротко, временем этой системы.

Эту систему координат вместе с единичным масштабом и часами, служащими для определения времени системы, мы назовем «системой отсчета 5». Представим себе, что законы природы определены относительно системы 5, первоначально покоившейся относительно Солнца. Пусть затем система 5 ускоряется некоторым внешним воздействием в течение некоторого времени и затем снова приходит в состояние неускоренного движения. Как будут выглядеть законы природы, если все явления изучать в системе отсчета, находящейся теперь в новом состоянии движения?

В ответ на этот вопрос мы сделаем логически простейшее и подсказываемое опытом Майкельсона и Морли предположение: законы при-

1 В особенности следует учитывать, что эта теория дает коэффициент увлечения (опыт Физо) в согласии с опытом.

2 Н. A.Lorentz. Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegter Кбгрег (Leiden, 1895). [Перевод двух параграфов этой книги (89 и 92) помещен в сборнике «Принцип относительности», подзаглавием: «Интерференционный опыт Майкельсона». ГТТИ, 1934. — Прим. ред.]

88 О принципе относительности и его следствиях

роды не зависят от состояния движения системы отсчета, по крайней мере, если она не ускорена.

В дальнейшем мы будем опираться как на это предположение, которое мы назовем «принципом относительности», так и на только что указанный принцип постоянства скорости света.

§2. Общие замечания о пространстве и времени

1.Рассмотрим ряд неускоренных, движущихся с равной скоростью (покоящихся относительно друг друга) жестких стержней. Согласно принципу относительности, мы заключаем, что законы пространственного расположения этих тел относительно друг друга не меняются при изменении движения всей системы этих тел. Отсюда следует, что законы геометрии всегда определяют возможности одинакового размещения твердых тел, независимо от их общего движения. Поэтому высказывания о форме неускоренно движущегося тела имеют непосредственный смысл. Форму тела в указанном смысле мы назовем «геометрической формой». Последняя, очевидно, не зависит от состояния движения системы отсчета.

2. Согласно данному в § 1 определению времени, указание времени имеет смысл только по отношению к системе отсчета, движущейся определенным образом. Поэтому можно предположить (в дальнейшем это будет показано), что два пространственно разделенных события, которые относительно системы отсчета 5 являются одновременными, в общем случае не будут одновременными относительно системы отсчета 5', движущейся по отношению к системе 5.

3. Пусть тело, состоящее из материальных точек Р, как-то движется относительно системы отсчета 5. К моменту времени t в системе 5 каждая материальная точка Р обладает в S определенным положением, т.е. совпадает с определенной, покоящейся относительно S точкой П. Совокупность положений точки П относительно системы координат 5 мы назовем положением, а совокупность взаимных связей между положениями точки П — кинематической формой тела относительно 5 в момент времени t. Если тело покоится относительно 5, его кинематическая форма относительно S тождественна его геометрической форме.

Ясно, что покоящийся относительно системы 5 наблюдатель может определить в 5 лишь кинематическую форму тела, движущегося относительно 5, а не его геометрическую форму.

В дальнейшем мы, как правило, не будем явно различать геометрическую и кинематическую формы, и высказывание геометрического характера будет относиться к кинематической или геометрической форме в зависимости от того, связано оно с системой отсчета S или нет.

§ 3. Преобразования координат и времени

Пусть S и S' суть равноценные системы отсчета, т.е. пусть эти системы обладают единичными масштабами одинаковой длины и одинаково идущими часами при условии, что масштабы и часы сравниваются друг с другом в состоянии относительного покоя. Тогда очевидно, что любой закон природы, действующий в системе отсчета 5, справедлив в точно такой же форме и в системе 5', если 5 и 5' находятся в относительном покое. Принцип относительности требует, чтобы это полное совпадение законов распространялось также на случай, когда S' движется равномерно и прямолинейно относительно 5. В частности, скорость света в пустоте по отношению к обеим системам должна выражаться одним и тем же числом.

Пусть точечное событие определяется относительно S переменными х, у, z, t и относительно 5' — переменными х', у', z', t', причем 5 и 5' движутся относительно друг друга без ускорения. Найдем уравнения, связывающие между собой указанные переменные.

Можно сразу сказать, что эти уравнения должны быть линейными по отношению к указанным переменным, поскольку этого требуют свойства однородности пространства и времени. Отсюда, в частности, следует, что координатные плоскости системы 5', отнесенные к системе 5, движутся равномерно; однако в общем случае эти плоскости не перпендикулярны друг другу. Если же выбрать положение оси х' так, чтобы ее направление относительно S совпадало с направлением движения 5', то из соображений симметрии следует, что координатные плоскости системы 5', отнесенные к системе 5, должны быть перпендикулярными друг другу. В частности, можно выбрать обе системы координат так, чтобы ось х системы S и ось х' системы S' совпадали и чтобы отнесенная к S ось у' системы S' была параллельна оси у системы 5. Далее выберем за начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат совпадают; тогда искомые линейные уравнения преобразований будут однородными.