Эйнштейн А. - Теория относительности (R&C Dynamics) - 2000

Из известного теперь положения координатных плоскостей системы 5' относительно 5 непосредственно вытекает, что каждые из следующих уравнений попарно эквивалентны:

Следовательно, три искомых формулы преобразований должны иметь вид

х' = а(х — vt),

у' = Ьу,

Поскольку скорость распространения света в пустоте относительно обеих систем координат равна с, уравнения

должны быть эквивалентными.

Отсюда и из только что найденных выражений для ж', yf, z' после простых вычислений заключаем, что искомые формулы преобразования должны иметь вид

х' = <p(v) • {3 • (ж — vt),

У'= <f(v) • У, z'= <p(v) • z.

При этом введено обозначение

я= _ 1 _

Определим теперь оставшуюся пока неизвестной функцию <p(v). Вводя третью систему отсчета S", эквивалентную S и S', которая движется относительно 5' со скоростью —v и ориентирована относительно 5' так же, как 5' относительно 5, после двукратного применения

только что полученных формул получаем

t" = tp{v) • <p(-v) • t, x" = <p(v) • <p(—v) • x, y" = (p(v) • (p(-v) • y, z" = <p(v) • <p(—v) • z.

Поскольку начала координат систем 5 и 5" всегда совпадают, оси одинаково ориентированы и системы «эквивалентны», это преобразование тождественно1, так что

Далее, поскольку соотношение между у и у' не может зависеть от знака v,

<p(v) = <p(~v).

Следовательно2, (p(v) = 1 и формулы преобразования приобретают

вид

у' =

причем

Разрешая соотношения (1) относительно х, у, z, t, нетрудно получить соотношения, отличающиеся только тем, что в них «штрихованные» величины заменены одноименными «нештрихованными» и наоборот, а вместо v стоит —v. Это следует непосредственно из принципа относительности и из того, что система 5 движется равномерно относительно 5' в направлении оси х' со скоростью —v.

Вообще, в соответствии с принципом относительности, из каждого правильного соотношения между «штрихованными» (определенными

1Это заключение основано на физической предпосылке, чтодлина масштаба,равно как и ход часов, не претерпевают никаких изменений, если масштаб и часыприводятся в движение, а затем возвращаются в состояние покоя.

2Случай <p(v) ——1нами не рассматривается.

относительно S') и «нештрихованными» (определенными относительно 5) величинами или величинами только одного из этих классов опять можно получить правильное соотношение, заменяя нештрихованные величины соответствующими штрихованными и наоборот, a v на —v.

§ 4. Следствия из формул преобразования для твердых масштабов и часов

1. Пусть некоторое тело покоится относительно системы отсчета 5'. Пусть х[, у[, z[ и xf2, yf2, z'2 — координаты двух его материальных точек, отнесенные к 5'. Между координатами этих точек х±, у±, z\ и Х2, 2/2? Z2 в системе отсчета 5 во всякое время t в системе 5, в соответствии с выведенными в предыдущем параграфе формулами преобразований, существуют соотношения

Таким образом, кинематическая форма равномерно и прямолинейно движущегося тела зависит от его скорости относительно системы отсчета, причем кинематическая форма тела отличается от его геометрической формы только сокращением в направлении относительного движения в отношении 1 : у/1 — {у2/с2). Относительное движение систем отсчета со сверхсветовой скоростью несовместимо с нашими принципами.

2.Пусть в начале координат системы 5' покоятся часы, идущие

ви0 раз быстрее, чем часы, применяемые для измерения времени в системах 5 и 5', т. е. пусть стрелки этих часов совершают и0 оборотов за время одного оборота стрелок покоящихся относительно них часов того же типа, которыми пользуются в системах S и S'. Спрашивается, как идут первые часы, если их рассматривать в системе 5?

Стрелки рассматриваемых часов заканчивают оборот в промежутки времени t'n = п/и0, причем п принимает целые значения, и часы постоянно находятся в точке х' = 0. Отсюда с помощью двух первых формул преобразований для промежутков времени tn, в течение которых стрелки часов заканчивают оборот в системе 5, получаем

Следовательно, закон параллелограмма скоростей справедлив лишь в первом приближении. Полагая

и обозначая через а угол между осью x'(v) и направлением движения точки относительно S'(w'), получаем

{v2 + и'2 + 2vu' cos a) -

Если обе скорости (v и и') имеют одинаковое направление, то имеем

и = v + и'

Из этого соотношения следует, что при сложении двух скоростей, меньших с, всегда получается скорость, меньшая с. Так, если в последнее соотношение подставить v = с — х, и' = с — А, где х и А положительны и меньше с, то

Далее следует, что при сложении скорости света с и скорости, меньшей с, опять получается скорость света с.

Из закона сложения скоростей получается также другое интересное следствие: не может существовать взаимодействия, которое можно использовать для передачи сигналов и которое распространяется быстрее, чем свет в пустоте. Именно, пусть вдоль оси X системы 5 расположен материальный канал, относительно которого может распространяться некоторое действие со скоростью W, и пусть как в точке х = 0 (точка А), так и в точке х = А (точка В) оси X находится покоящийся относительно 5 наблюдатель. Наблюдатель в точке А посылает сигнал наблюдателю в точке В при помощи вышеуказанного действия через

96 О принципе относительности и его следствиях

Поясним формулу для и/ двумя разными способами, считая, что движется наблюдатель, а источник света (бесконечно удаленный) покоится, или, наоборот, что наблюдатель покоится, а источник движется.

1. Если наблюдатель движется со скоростью v по отношению к бесконечно удаленному источнику света частоты v так, что линия «источник света — наблюдатель» образует угол (р со скоростью наблюдателя по отношению к системе координат, покоящейся относительно источника света, то частота и' света, воспринимаемого наблюдателем, определяется соотношением

1 — ^ cos <р

i/ = i/ C -

2. Если источник, испускающий в движущейся вместе с ним системе свет с частотой и0, движется так, что линия «источник света — наблюдатель» образует угол ip со скоростью источника света по отношению к системе, покоящейся относительно наблюдателя, то частота v, воспринимаемая наблюдателем, определяется соотношением

(4а)(Л л

1 — ^ COS (f

Оба эти соотношения выражают принцип Допплера в его общей форме, последнее соотношение позволяет определить, как зависит от скорости движения ионов и от направления наблюдения частота света, испускаемого (или поглощаемого) каналовыми лучами.

Далее, если обозначить через ip (или ipf) угол между нормалью к фронту волны (направлением луча) и направлением движения системы 5 (или 5') относительно системы 5' (или 5) (т.е. осью х или ж'), соотношение для /' приобретает вид

cosy/ =

Это соотношение показывает влияние относительного движения наблюдателя на видимое положение бесконечно удаленного источника света (аберрация).

групповую скорость G можно определить и в том случае, если задана только частота света относительно 5, а также скорость движения тела

иего природа.

II.Электродинамическая часть

§7. Преобразование уравнений Максвелла-Лоренца

Будем исходить из уравнений

В этих уравнениях через (X, Y, Z) обозначен вектор напряженности электрического поля, через (L, M, N) — вектор напряженности магнитного поля, через

— плотность электрического заряда, умноженная на 4тг, и, наконец, через (их, иу, uz) — вектор скорости электрического заряда.

Эти уравнения вместе с предположением, что электрические заряды постоянно связаны с очень малыми твердыми телами (ионами, электронами), составляют основу лоренцовой электродинамики иоптики движущихся сред.