Эйнштейн А. - Теория относительности (R&C Dynamics) - 2000

получаем

х' = ах + bet,

(5)

et = act — bx.

Наша задача была бы решена, если бы были известны постоянные а и Ь;последние определяются из следующих соображений.

Для начала координат системы К' все время х' = 0, следовательно, согласно первому уравнению (5), имеем

х - а г.

Обозначая через v скорость, с которой начало координат системы К' движется относительно К, находим

То же самое значение v получается из уравнений (5), если вычислять скорость какой-либо другой точки системы К' относительно К или скорость некоторой точки системы К (направленную в сторону отрицательных значений х) относительно К'. Итак, величину v кратко можно назвать относительной скоростью обеих систем.

Далее, из принципа относительности ясно, что с точки зрения системы К длина некоторого единичного масштаба, покоящегося относительно К', должна быть точно такой же, как и длина такого же масштаба, покоящегося относительно К, с точки зрения К'. Чтобы знать, как ведут себя точки оси X', с точки зрения системы К, нам надо лишь сделать «моментальный снимок» системы К' из системы К; это значит, что вместо t (время системы К) мы должны подставить некоторое определенное значение его, например, t = 0. Тогда из первого уравнения (5) получим

х = ах.

Следовательно, две точки оси X', расстояние между которыми при измерении в системе К' равно 1 (Ах' = 1), на нашей моментальной фотографии находятся на расстоянии

Но если моментальный снимок делается из системы К' (t' =0), то, исключая t из уравнений (5) при помощи равенства (6), получаем

Отсюда заключаем, что две точки на оси X, находящиеся на расстоянии, равном единице (относительно К), нанашей моментальной фотографии разделены расстоянием

Ах'-=а(-11 Й- ^J-. (7а)

Так как, согласно сказанному выше, обе моментальные фотографии должны быть идентичны, то Ах в соотношении (7) должно быть равно Ах' в соотношении (7а), так что получаем

Равенства (6) и (76) определяют постоянные а иЪ. Подставляя выражения для а иЪ в уравнения (5), получаем первое и четвертое уравнения, приведенные в §11:

X — Vt

*"

Итак, мы получили преобразование Лоренца для событий на оси X. Оно удовлетворяет условию

х'2-сН'2=х2-сН2. (8а)

Распространение этого результата на события, происходящие вне оси X, достигается сохранением уравнений (8) и добавлением уравне-

ний

iv'rv: да

При этом постулат постоянства скорости света в пустоте остается в силе для световых лучей любого направления как для системы К, так и для системы К'. Это можно показать следующим образом.

Пусть в момент времени t = 0 из начала координат системы К посылается световой сигнал. Он будет распространяться согласно уравнению

г = л/х2 + у2 + z2 = et,

или, после возведения этого уравнения в квадрат,

Закон распространения света в соединении с постулатом относительности требует, чтобы упомянутый сигнал — при наблюдении из системы К' — распространялся согласно формуле

г' = et',

или

Чтобы уравнение (Юа) было следствием уравнения (10), должно выполняться соотношение:

Так как для точек на оси X должно выполняться уравнение (8а), то а = 1. Легко убедиться, что преобразование действительно удовлетворяет соотношению (11) при и = 1; именно соотношение (11) является следствием соотношения (8а) и уравнений (9), а следовательно, и уравнений (8) и (9). Тем самым преобразование Лоренца выведено.

Преобразование Лоренца, выраженное уравнениями (8) и (9), еще должно быть обобщено. Очевидно, несущественно, что координатные оси системы К были выбраны пространственно параллельными осям системы К'. Несущественно также, что скорость равномерного и прямолинейного движения системы К' относительно К имела направление оси X. Из простого рассуждения следует, что в этом общем случае преобразование Лоренца можно составить из двух преобразований, а именно: из преобразований Лоренца для частного случая и из чисто пространственных преобразований, которые соответствуют переходу

204 О специальной и общей теории относительности

от одной прямоугольной системы координат к другой, с иным направлением осей.

Это означает: если в левую часть последнего равенства вместо ж', у', zf, t' подставить их выражения через ж, у, z, t, то левая часть равенства (Па) совпадет с правой.

Приложение II Четырехмерный мир Минковского

(дополнение к § 17)

Обобщенное преобразование Лоренца может быть охарактеризовано еще проще, если вместо t как переменной времени ввести мнимую величину у/—let. Если в соответствии с этим положить

Ж1 = Ж,

Х2 =У,

ж3 = z,

Ж4 = V— Id,

и аналогично для системы К', то условие, которому преобразование тождественно удовлетворяет, будет иметь вид

занном выборе «координат».

Из соотношения (12) видно, что мнимая временная координата Ж4 и пространственные координаты х\, жг, жз входят в него симметрично. На этом основании, согласно теории относительности, «время» Ж4 входит в выражение законов природы в такой же форме, что и пространственные координаты жх, жг, жз-

в том, что она связывает большое число отдельных эмпирических фактов и в этом состоит ее «справедливость».

Для одного и того же комплекса опытных фактов может существовать несколько теорий, значительно различающихся друг от друга. Но в отношении выводов из теорий, которые доступны для опытной проверки, согласие между теориями может быть настолько полным, что трудно найти такие следствия, в которых эти теории отличаются друг от друга. Широко известным примером такого рода в области биологии служит дарвиновская теория развития видов путем естественного отбора в процессе борьбы за существование и теория эволюции, основывающаяся на гипотезе наследственности приобретенных свойств.

Другой случай далеко идущего совпадения следствий двух теорий встречается в механике Ньютона, с одной стороны, и в общей теории относительности — с другой. Это совпадение идет настолько далеко, что до настоящего времени мы смогли найти лишь немного допускающих опытную проверку следствий общей теории относительности,

ккоторым не приводила дорелятивистская физика; и это несмотря на глубокое различие основных предпосылок обеих теорий. Здесь мы еще раз рассмотрим эти важные следствия, а также обсудим относящиеся

кним опытные данные, которые получены.

а. Движение перигелия планеты Меркурий

Согласно ньютоновой механике и ньютонову закону тяготения, некоторая планета, вращающаяся вокруг Солнца, должна описывать эллипс вокруг последнего, точнее, вокруг общего центра тяжести Солнца и планеты. При этом Солнце, или общий центр тяжести, находится в одном из фокусов эллиптической орбиты, так что в течение планетного года расстояние между Солнцем и планетой растет от минимума к максимуму и затем снова уменьшается до минимума. Если вместо закона Ньютона мы примем несколько иной закон притяжения, то найдем, что и при этом новом законе движение по-прежнему будет происходить так, что расстояние между Солнцем и планетой будет испытывать периодические колебания; но в этом случае угол, описываемый линией, соединяющей Солнце и планету, за время такого периода (от перигелия — ближайшего положения к Солнцу — до перигелия) отличался бы от угла 360°. Траектория не была бы тогда замкнутой, но заполняла

бы с течением времени кольцеобразную область в плоскости орбиты, т.е. между окружностями с радиусами, равными наименьшему и наибольшему расстояниям планеты от Солнца.

Согласно общей теории относительности, которая, конечно, отличается от теории Ньютона, должно также иметь место небольшое отклонение от движения планеты по орбите в соответствии с законами Кеп- лера-Ньютона, так что угол, описываемый радиусом, соединяющим Солнце и планету, от одного перигелия до другого должен превосходить угол, соответствующий полному обороту, на величину, определяемую выражением

24тг3а2 Т 2 с 2 ( 1 - е 2 ) '

(Один полный оборот соответствует углу 2тг в абсолютной угловой мере, как это обычно принято в физике.) Здесь а — большая полуось эллипса, е — его эксцентриситет, с — скорость света, Т — период обращения планеты. Этот результат можно представить также и в следующем виде: согласно общей теории относительности, большая ось эллипса вращается вокруг Солнца в направлении вращения планеты. Согласно теории, это вращение должно составлять для планеты Меркурий 43 угловых секунды в столетие, а у других планет нашей солнечной системы оно должно быть настолько незначительным, что недоступно наблюдению1.

Всамом деле, астрономы нашли, что теория Ньютона недостаточна для того, чтобы рассчитать наблюдаемое движение Меркурия с точностью, которая может быть достигнута при наблюдениях в настоящее время. После того как были приняты в расчет все возмущающие влияния остальных планет на движение Меркурия, было найдено (Леверье, 1859; Ньюкомб, 1895), что остается необъясненным движение перигелия орбиты Меркурия, скорость которого не отличается заметно от упомянутых выше +43 угловых секунд в столетие. Ошибка этого эмпирического результата составляет лишь несколько секунд.

б.Отклонение луча света гравитационным полем

В§22 уже было упомянуто, что, согласно общей теории относи-

тельности, луч света, проходя через гравитационное поле, должен ис-

1 Особенно, если учесть, что орбита следующей планеты, Венеры, представляет собой почти точный круг, а это затрудняет точное определение положения перигелия.

кривляться подобно тому, как искривляется траектория тела, движущегося в гравитационном поле. Согласно этой теории, можно ожидать, что луч света, проходящий мимо какого-либо небесного тела, должен отклониться в направлении последнего. Для луча света, проходящего мимо Солнца на расстоянии А радиусов Солнца от его центра, угол отклонения а будет составлять

Можно добавить, что половина этого отклонения вызывается, согласно этой теории, ньютоновским полем тяготения Солнца, а другая половина — геометрическим искажением («искривлением») пространства, обусловленным Солнцем.

Этот результат допускает экспериментальную проверку путем фотографирования звезд во время полного солнечного затмения. Единственной причиной, почему мы должны выбирать такой момент, является то, что во всякое другое время земная атмосфера, освещенная Солнцем, светит настолько сильно, что делает невидимыми звезды, расположенные вблизи диска Солнца. Предсказываемый эффект можно ясно видеть из рис. 5. Если бы Солнца (5) не было, то практически бесконечно удаленную звезду при наблюдении с Земли мы увидели бы в направлении D\. Но вследствие отклонения Солнцем луча света от звезды мы будем видеть звезду в направлении D2, т.е. на несколько боль-

Рис 5 шем расстоянии от центра диска Солнца, чем ее реальное положение.

На практике это проверяется следующим образом. Звезды, находящиеся вблизи Солнца, фотографируются во время солнечного затмения. Затем делается вторая фотография тех же звезд, когда Солнце находится в другой части неба, т.е. на несколько месяцев раньше или позже. При сравнении фотографии, сделанной во время солнечного затмения, с этой контрольной фотографией положения звезд должны оказаться смещенными в радиальном направлении (от центра солнечного диска) на величину, соответствующую углу а.

Исследованием этого важного вывода мы обязаны Королевскому обществу и Королевскому астрономическому обществу. Несмотря на войну и вызванные ею трудности материального и психологического

характера, эти общества снарядили две экспедиции — в Собраль (Бразилия) и на о. Принсипи (у побережья Западной Африки) — и послали нескольких знаменитых английских астрономов (Эддингтона, Коттингэма, Кроммелина и Дэвидсона) для фотографирования солнечного затмения 29 мая 1919 г. Ожидавшиеся относительные смещения положений звезд на снимках солнечного затмения по сравнению с контрольными снимками достигали лишь нескольких сотых долей миллиметра. Таким образом, при фотографировании и в последующих измерениях была необходима высокая точность.

Результаты измерений весьма удовлетворительно подтвердили теорию. Две прямоугольные координаты наблюдавшихся и вычисленных отклонений звезд (в угловых секундах) приведены в таблице.

в. Смещение спектральных линий к красному концу спектра

В §23 было показано, что в системе К', вращающейся относительно галилеевой системы К, скорость хода покоящихся относительно К' часов одинаковой конструкции зависит от их места. Исследуем теперь эту зависимость количественно. Часы, находящиеся на расстоянии г от центра диска, имеют относительно системы К скорость

V = ШГ,

где и — угловая скорость вращения диска К' относительно К.

Если VQ есть число тиканий часов в единицу времени («скорость» хода часов) относительно К, в случае, когда часы неподвижны, то «скорость» хода v часов, движущихся относительно К со скоростью v, но