Эйнштейн А. - Теория относительности (R&C Dynamics) - 2000

щейся. относительно системы отсчета S, движущейся равномерно ускоренно, то в соответствии с (5) и (6) выполняются уравнения

Согласно сказанному выше, величины р', и', X', L', х' и т.д., отнесенные к системе отсчета S', можно сразу приравнять соответствующим величинам р, и, X, L, £ и т.д., отнесенным к S, если мы ограничиваемся бесконечно малым временем1, бесконечно близким к времени относительного покоя 5 ' и Е . Далее t' мы должны заменить местным временем а. Однако для этого нельзя положить просто

dt' da

по той причине, что покоящаяся относительно системы отсчета S точка, к которой должны относиться преобразованные к S уравнения, за время dt' = da меняет свою скорость относительно S', причем, согласно соотношениям (7а) и (76), этому изменению соответствует изменение во времени компонент поля, отнесенных к системе отсчета S. Поэтому следует положить:

Таким образом, уравнения электромагнитного поля, отнесенные к S, принимают вид

1Это ограничение не влияет на пределы применимости наших результатов, поскольку выводимые далее законы природы по существу не могут зависеть отвре-

132 О принципе относительности и его следствиях

Умножим эти уравнения на (1 + ^|) и введем обозначения

+ f ) ' ит-д-

Далее, пренебрегая членами второй степени по 7? получаем уравнения

Из этих уравнений прежде всего видно, какое влияние оказывает гравитационное поле на статические и стационарные явления. В этих

случаях выполняются такие же закономерности, как в поле без тяготения, с той лишь разницей, что компоненты поля X и т. д. заменяются

на А I 1 + -^ I и т. д.

Для рассмотрения хода нестационарных процессов мы будем пользоваться временем т как при дифференцировании по времени, так и для определения скоростей, т.е., согласно соотношению (30), положим

д_. дт ~

Таким образом, мы получаем

с2

Эти уравнения имеют такой же вид, как в неускоренной системе или пространстве, свободном от тяготения; но вместо с в них входит величина

Отсюда следует, что световые лучи, распространяющиеся не по оси X, искривляются гравитационным полем; изменение направления,

как легко видеть, составляет -^ simp на 1 см пути света, где (р означает

с

угол между направлениями силы тяжести и светового луча.

С помощью этих формул и уравнений для поля и электрического тока в точке, известных из оптики покоящихся сред, можно определить влияние гравитационного поля на оптические явления в покоящихся средах. При этом следует учитывать, что уравнения оптики покоящихся сред выполняются для местного времени и. К сожалению, согласно нашей теории, влияние поля тяготения Земли так незначительно

(вследствие того, что величина -^- мала), что нет никаких перспектив на сравнение результатов теориис с опытом.

Умножая уравнения (31а) и (32а) соответственно на ^—, ... , у— и интегрируя по бесконечному пространству, получаем в наших прежних обозначениях

• uvY + u^Z) dw +

8тг да

При этом

есть энергия г]^, подводимая к веществу в единицу объема за единицу местного времени а, при условии, что эта энергия измеряется прибором, находящимся в рассматриваемой области. Следовательно, согласно соотношению (30),

представляет собой энергию, подведенную (и так же измеренную) к ве-

ществу в единицу объема за единицу времени т; -^-(X2+Y2+ ... +N2)

ОТГ

есть электромагнитная энергия е на единицу объема, измеренная та-

д ( 'УС \ д

ким же способом. Учитывая далее, что, согласно (30), ^ - = 1 1 + - ^ I ir~?

получаем

да \ с ) дт

Это соотношение выражает закон сохранения энергии и содержит весьма примечательный результат. Вкладу энергии Е = е duj (или приросту энергии г] duj dr) в интеграл энергии соответствует еще дополни-

тельный вклад величиной ^ 7 ^ — "т^? связанной с местом, где нахо-

сс

дится Е. Следовательно, каждому количеству энергии Е в гравитационном поле соответствует потенциальная энергия, по величине равная потенциальной энергии «тяжелой» массы величиной Е/с2.

Таким образом, выведенная в § 11 теорема о том, что энергии Е соответствует масса величиной Е/с2, выполняется не только для инертной, но и для тяготеющей массы, если остается в силе предположение, введенное в § 17.

Поступила 4 декабря 1907 г.

В этой статье поставлен вопрос о влиянии постоянного гравитационного поля на частоту излучаемого света. Вычисления отклонения луча света еще не учитывали эффекта кривизны пространства, а потому привели к результату, вдвое меньшему правильного.

Некоторые опечатки в этой статье были исправлены Эйнштейном в за-

«В используемой нами кинематике ускорение dv/dt зависит от состояния (неускоренной) системы отсчета. Из всех значений ускорения, которые можно рассматривать для определенной эпохи движения, выделяется значение, отвечающее системе отсчета, относительно которой тело имеет скорость v = 0. Именно это значение ускорения должно оставаться постоянным при «равномерно ускоренном» движении. Использованное на стр. 128 соотношение v = jt справедливо только в первом приближении; это, однако, достаточно, так как мы учитываем лишь линейные члены».

О СПЕЦИАЛЬНОЙ И ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ОБЩЕДОСТУПНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ)1

Предисловие

Настоящая книга имеет целью дать возможно точное представление о теории относительности читателям, интересующимся этой теорией с общенаучной, философской точки зрения, но не владеющим математическим аппаратом теоретической физики2. Предполагается, что читатель имеет общеобразовательную подготовку, а также достаточно терпения и силы воли. Автор приложил много усилий для того, чтобы достигнуть по возможности более ясного и простого изложения основных мыслей в той последовательности и связи, в какой они фактически возникли. В интересах ясности оказались неизбежными повторения; пришлось отказаться от стремления к изящности изложения; я твердо придерживался рецепта гениального теоретика Больцмана — оставить изящество портным и сапожникам. Я, по-видимому, не утаил от читателя трудности, лежащие в основах теории. Эмпирические физические основы теории намеренно изложены очень кратко, чтобы читатель, близко не соприкасающийся с физикой, не оказался в положении путника, который из-за деревьев не видит леса. Пусть чтение этой книги доставит читателю несколько радостных часов.

1 Uber die spezielle und die allgemeine Relativitatstheorie (Gemeinverstandlich).

Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1920.

2Математические основания специальной теории относительности можно найти

вработах Г.А.Лоренца, А.Эйнштейна, Г.Минковского, вошедших в сб. «Принцип относительности», который входит в Собрание монографий, издаваемых Тойбнером (В. C.Teubner), а также в прекрасной книге М.Лауэ «Принцип относительности» (Vieweg, Braunschweig). Общая теория относительности вместе с необходимой для нее математической теорией инвариантов изложена в брошюре автора «Основы общей теории относительности» (J.A.Barth, 1916); эта брошюра предполагает некоторое знакомство читателя со специальной теорией относительности.

Добавление к третьему изданию

В этом (1918) году в издании Шпрингера появилась обстоятельная монография по общей теории относительности, написанная Г. Вейлем: «Пространство. Время. Материя» («Raum. Zeit. Materie»), которую я рекомендую математикам и физикам.

I.О специальной теории относительности

§ 1. Физическое содержание геометрических теорем

Вероятно и ты, дорогой читатель, еще в юности познакомился со стройным зданием геометрии Евклида и, быть может, скорее с уважением, чем с любовью вспоминаешь об этом величественном сооружении, по ступеням которого многие часы водили тебя добросовестные учителя. По-видимому, вспоминая об этом прошлом, ты с презрением отнесешься ко всякому, кто посмел бы объявить неверным хотя бы самое незначительное положение этой науки. Но, быть может, это чувство гордой уверенности и покинет тебя, если тебя спросят: «Что понимаешь ты под утверждением, что эти положения истинны?» Коротко остановимся на этом вопросе.

Геометрия исходит, во-первых, из определенных основных понятий: плоскости, точки, прямой, с которыми мы связываем более или менее ясные представления, и, во-вторых, из определенных простейших положений (аксиом), которые мы склонны считать «истинными», основываясь на указанных представлениях. Все остальные положения сводятся к этим аксиомам, т.е. доказываются на основе логического метода, справедливость которого мы чувствуем себя вынужденными признать. Предложение считается правильным или «истинным», если оно выводится из аксиом привычным путем. Таким образом, вопрос об «истинности» отдельных геометрических положений сводится к вопросу об «истинности» аксиом. Однако давно известно, что последний вопрос не только не может быть решен с помощью методов геометрии, но вообще сам по себе не имеет смысла. Нельзя ставить вопрос об истинности того, что через две точки проходит только одна прямая. Можно лишь сказать, что евклидова геометрия имеет дело с объектами, которые называются «прямыми» и которые она наделяет свойством однозначно определяться двумя своими точками. Понятие «истины» не-

138 О специальной и общей теории относительности

применимо к заключениям чистой геометрии, поскольку под словом «истина» в последнем счете мы всегда подразумеваем соответствие «реальному» предмету; однако геометрия занимается не отношением ее понятий к предметам опыта, а лишь логической связью этих понятий между собой.

Нетрудно объяснить, почему тем не менее мы считаем положения геометрии «истинными». Геометрическим понятиям более или менее точно соответствуют предметы природы; при этом последние несомненно являются единственной причиной возникновения указанных понятий. Хотя геометрия и отвлекается от этого, чтобы придать своим построениям возможно большую логическую законченность, все же, например, привычка считать за отрезок кратчайшее расстояние между двумя заданными точками на практически твердом теле глубоко коренится в навыках нашего мышления. Далее, мы привыкли считать три точки находящимися на одной прямой, если при подходящем выборе пункта наблюдения одним глазом кажущиеся места этих точек могут быть приведены в совпадение.

Если теперь, следуя навыкам мышления, присоединим к теоремам евклидовой геометрии одно единственное утверждение, а именно, что двум точкам практически твердого тела всегда соответствует одно и то же расстояние (отрезок), какие бы изменения положения тела не происходили, то теоремы евклидовой геометрии превращаются в теоремы о возможных относительных положениях практически твердых тел1.

Дополненную таким образом геометрию следует рассматривать как область физики. Теперь уже с полным правом можно поставить вопрос об «истинности» геометрических теорем, интерпретируемых указанным образом; в самом деле, можно спросить, справедливы ли теоремы для тех реальных предметов, которые мы связали с геометрическими понятиями. Выражаясь несколько неточно, мы можем также сказать, что под «истинностью» некоторого положения геометрии в этом смысле мы понимаем его справедливость при построении с помощью циркуля и линейки.

Убеждение в «истинности» положений геометрии в этом смысле основывается, конечно, исключительно на весьма несовершенном опыте.

1Этим понятие прямой связывается с реальным предметом природы. Три точки А, В и С неизменяемого тела лежат на одной прямой, если при заданных точках А и С точка В избрана так, что сумма расстояний АВ и ВС становится возможно меньшей. Этого дополнительного указания в данном случае достаточно.

Мы допустим сначала такую истинность положений геометрии, чтобы в последней части наших рассуждений (при рассмотрении общей теории относительности) установить, как и насколько эта истинность должна быть ограничена.

§ 2. Система координат

На основании указанной физической интерпретации расстояния мы получаем также возможность установить путем измерений расстояние между двумя точками твердого тела. Для этого нам необходима раз навсегда определенная длина (линейка 5), которая будет применяться в качестве единичного масштаба. Пусть А и В — две точки твердого тела; тогда соединяющая их прямая может быть построена по законам геометрии. Далее на этой прямой будем откладывать длины 5, начиная от точки А, до тех пор, пока не достигнем В. Число укладывающихся на этом отрезке длин и будет числом, измеряющим длину отрезка АВ. На этом основано всякое измерение длины1.

Всякое пространственное описание места какого-либо события или предмета основано на том, что указывается точка некоторого твердого тела (тела отсчета), с которой совпадает данное событие, причем это относится не только к научному описанию, но и к повседневной жизни. Например, анализируя задание места: «в Берлине, на Потсдамской площади», мы находим, что это означает следующее. Твердым телом, к которому относится указанное место, является Земля, а «Потсдамская площадь в Берлине», — отмеченная на этом теле точка с данным названием, с которой пространственно совпадает рассматриваемое событие2.

Подобный примитивный способ задания места пригоден лишь для мест на поверхности твердых тел и связан с наличием различных точек на этой поверхности. Проследим, как человеческое мышление освобождается от обоих этих ограничений, не меняя сущности способа задания места! Если, например, над Потсдамской площадью проплывает облако, то его положение по отношению к земной поверхности может быть

1При этом предполагается, что измерительная линейка укладывается целое число раз, т.е. в результате получается целое число. В общем случае это затруднение можно преодолеть, пользуясь разделенным масштабом, введение которого невносит ничего нового.

2 Здесь нет нужды в дальнейшем исследовании того, что означает «пространственное совпадение»; это понятие настолько ясно, что в каждом отдельном частном случае вряд ли могут возникнуть сомнения в егоприменимости.