Эйнштейн А. - Теория относительности (R&C Dynamics) - 2000

Рассмотрим теперь силу давления, действующую на элемент поверхности s', покоящийся относительно S'; тогда

где /', га', п' — направляющие косинусы нормали (направленной внутрь тела), a s'x, s'y, s'z — проекции s'. Из уравнений (2) следует, что

причем s'x, s', s'z — проекции элемента поверхности относительно системы отсчета 5. Для составляющих рассматриваемой силы давления Кх, Ку, Kz относительно системы отсчета 5 из последних трех систем уравнений получаем:

причем s означает площадь элемента поверхности, /, га, п — направляющие косинусы его нормали в системе отсчета 5. Таким образом, мы получаем, что давление р' относительно сопутствующей системы координат можно заменить в другой системе отсчета давлением той же величины, так же нормальным к элементу поверхности. Следовательно, в наших обозначениях

Соотношения (16в), (20) и (22) дают нам возможность определять состояние физической системы не только определенными в сопутствующей системе отсчета величинами Ео, Vo, ро, но и величинами Е, V, р, определенными в той же системе отсчета, что и количество движения G и скорость q системы. Например, если состояние рассматриваемой системы для сопутствующего наблюдателя полностью определяется двумя переменными (Vo и Ео), а следовательно, ее уравнение состояния можно

понимать как соотношение между ро, VQ ИЕО, ТО уравнение состояния можно с помощью названных соотношений привести к виду

tp{q, р, V, Е) = 0.

Преобразуя соответственно соотношение (18в), получаем

Это равенство вместе с соотношениями, выражающими закон сохранения количества движения

dGx v - z^

полностью определяет переносное движение системы как целого, если кроме величин ^ Кх и т. д. известны также величины Е, р, V как функции времени, или если вместо последних трех функций известны три эквивалентных им параметра, характеризующих движение системы.

§ 14. Примеры

Пусть рассматриваемая система состоит из электромагнитного излучения, заключенного в невесомой полости, стенки которой уравновешивают давление излучения. Если на полость не действуют никакие внешние силы, то ко всей системе (включая полое тело) можно применить соотношения (16а) и (18а). Таким образом,

где Ео — энергия излучения в сопутствующей системе отсчета. Наоборот, если стенки полости идеально гибки и растяжимы, так

что оказываемое на них давление излучения должно уравновешиваться внешними силами, исходящими от тел, не принадлежащих к рассматриваемой системе, то следует применить уравнения (16в) и (18в), в которые надлежит подставить известное значение давления излучения

прирост энергии за вычетом работы, совершенной давлением и затраченной на увеличение количества движения, т. е.

После того как определена подведенная теплота для движущейся системы, путем рассмотрения обратимого кругового процесса можно ввести абсолютную температуру Т и энтропию г] движущейся системы точно так же, как это делается в термодинамике. Для обратимых процессов и в этом случае справедливо соотношение

и соответствующие им величины dQo, щ, То в сопутствующей системе отсчета. Относительно энтропии повторим здесь рассуждение Планка1, причем заметим, что под «штрихованной» или «нештрихованной» системой отсчета следует понимать систему отсчета 5' или 5 соответственно.

«Представим себе, что при помощи некоего обратимого адиабатического процесса тело переводится из одного состояния, в котором оно покоится в нештрихованной системе отсчета, в другое состояние, в котором оно покоится в штрихованной системе отсчета. Обозначая энтропию тела в нештрихованной системе в начальном состоянии через щ, а в конечном состоянии — через щ, в силу обратимости и адиабатичности можем написать щ = щ. Однако процесс остается обратимым и адиабатическим и в штрихованной системе, и мы имеем, следовательно, также г][ = г)'2)>2.

«Предположим теперь, что г}[ ф щ, например, г}[ > щ. Это означало бы, что энтропия тела в движущейся системе отсчета больше, чем энтропия в той же системе отсчета, если эта система покоится. Тогда в соответствии с этим предположением должно бы также быть щ > г)'2, ибо во втором состоянии тело покоится в штрихованной системе отсчета, тогда как относительно нештрихованной системы оно движется. Однако эти два неравенства противоречат полученным выше двум равенствам. Также не может быть г][ > щ\ следовательно, г][ = щ, и вообще rf = T]i, т.е. энтропия тела не зависит от выбора системы отсчета.»

ХМ. Planck. Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungber. preufi. Akad. Wiss., 1907. 2См. там же.

124О принципе относительности и его следствиях

Внаших обозначениях мы должны положить

Поскольку, согласно (24), справедливы два соотношения

dQ=T dr], dQo=Tdrjo,

с учетом (25) и (26)окончательно получаем

Таким образом, температура системы в движущейся системе отсчета всегда меньше, чем в покоящейся системе отсчета.

§ 16. Динамика системы и принцип наименьшего действия

В своей работе «К динамике движущихся систем» Планк исходит из принципа наименьшего действия (и из формул преобразования для давления и температуры излучения в полости) и приходит к результатам, совпадающим с нашими результатами. Поэтому возникает вопрос, какова взаимосвязь между основами его работы и настоящего исследования.

Мы исходили из закона сохранения энергии и закона сохранения количества движения. Обозначив через Fx, Fy, Fz компоненты равнодействующей всех сил, приложенных к системе, можно сформулировать эти законы для обратимых процессов и системы, состояние которой определяется переменными q, V, T, следующим образом:

(28)

d(-E + Tr} + qG) = Gxdx + Gy dy + Gx dz+pdV + r)dT.

Поскольку правая часть должна быть также полным дифференциалом, отсюда, учитывая соотношение (29), получаем

Это и есть те выводимые из принципа наименьшего действия уравнения, из которых исходил Планк.

V. Принцип относительности и тяготение

§17. Ускоренная система отсчета и гравитационное поле

До сих пор мы применяли принцип относительности, т. е. требование независимости законов природы от состояния движения системы отсчета, только к неускоренным системам отсчета. Можно ли представить себе, что принцип относительности выполняется и для систем, движущихся относительно друг друга с ускорением?

Правда, пока еще нет возможности подробно обсуждать здесь этот вопрос. Но поскольку этот вопрос должен возникнуть перед каждым, кто следил за применениями принципа относительности до настоящего

стоянное во времени) равно j . Предположим, что Х^ покоится, но находится в однородном гравитационном поле, которое сообщает всем телам ускорение —7 в направлении оси X.

Как известно, физические законы относительно Si не отличаются от законов, отнесенных к S2 ; это связано с тем, что в гравитационном поле все тела ускоряются одинаково. Поэтому при современном состоянии наших знаний нет никаких оснований полагать, что системы отсчета Si и Иг в каком-либо отношении отличаются друг от друга, и в дальнейшем мы будем предполагать полную физическую равноценность гравитационного поля и соответствующего ускорения системы отсчета.

Это предположение распространяет принцип относительности на случай равномерно ускоренного прямолинейного движения системы отсчета. Эвристическая ценность этого предположения состоит в том, что оно позволяет заменить однородное поле тяжести равномерно ускоренной системой отсчета, которая до известной степени поддается теоретическому рассмотрению.

§ 18. Пространство и время в равномерно ускоренной системе отсчета

Рассмотрим сначала тело, отдельные материальные точки которого в некоторый определенный момент времени t в неускоренной системе отсчета 5 покоятся относительно 5, но обладают определенным ускорением. Как влияет это ускорение j на форму тела в системе отсчета 5?

Если подобное влияние существует, оно будет заключаться либо

вравномерном изменении размеров в направлении ускорения, либо же

вдвух перпендикулярных ускорению направлениях, ибо другие результаты исключаются по соображениям симметрии. Каждое обусловленное ускорением сокращение (если оно вообще существует) должно быть четной функцией 7; следовательно, им можно пренебречь, если ограничиться случаем, когда 7 так мало, что можно отбросить члены второй и более высоких степеней по 7- Поскольку в дальнейшем мы ограничимся этим случаем, влияние ускорения на размеры тела можно не учитывать.

Рассмотрим теперь систему отсчета S, равномерно ускоренную относительно неускоренной системы отсчета 5 в направлении оси X последней. Пусть часы или масштаб в системе отсчета S в покое идентичны часам или масштабу в S. Предположим, что начало координат системы отсчета £ движется вдоль оси X системы отсчета 5, а оси £ параллельны осям 5. В каждый момент времени существует неускорен-

§ 18. Пространство и время в равномерно ускоренной системе отсчета 127

ная система отсчета S', координатные оси которой в рассматриваемый момент (в определенный момент времени t' в 5') совпадают с координатными осями системы отсчета £. Если точечное событие, происходящее в этот момент времени £', имеет в £ координаты £, rj, £, то

х' = £, у' = г], z' = С,

поскольку, согласно сказанному выше, можно не учитывать влияние ускорения на размеры тела, применяемого для измерения £, rj, £. Представим себе далее, что часы в £ в момент времени t' в S' идут так, что показывают в этот момент t'. Как будут идти часы в следующий промежуток времени т?

Прежде всего следует учесть, что специфическое влияние ускорения на ход часов S можно не принимать во внимание, так как оно должно быть порядка j 2 . Далее, поскольку влиянием скорости, приобретенной за время т, на ход часов можно пренебречь и поскольку путь, пройденный относительно S' часами за время т, по порядку величины равен т2 , и, таким образом, им можно тоже пренебречь, показания часов в £ за элемент времени т полностью совпадают с показаниями часов в 5'.

Отсюда следует, что свет в вакууме распространяется относительно S в течение элемента времени т с универсальной скоростью с, если мы определим одновременность в системе отсчета 5', мгновенно покоящейся относительно S, и если мы будем применять для измерения времени и координат соответственно часы и масштабы, эквивалентные тем, которые применяются для измерения времени и пространства в неускоренных системах. Таким образом, и в этом случае для определения понятия одновременности можно применять принцип постоянства скорости света, если ограничиться очень малыми световыми путями.

Теперь представим себе, что часы в S поставлены указанным образом в тот момент t = Ов 5, когда S мгновенно покоится относительно 5. Совокупность показаний поставленных таким образом часов мы будем называть «местным временем» и системы отсчета S. Физический смысл местного времени, как это непосредственно видно, заключается

вследующем. Если для измерения времени процессов, происходящих

вотдельных элементах пространства S, применять местное время а, то законы, которым подчиняются эти процессы, не могут зависеть от положения рассматриваемого элемента объема, т.е. от его координат,

128 О принципе относительности и его следствиях

при условии, что в разных элементах объема применяются не только одинаковые часы, но и одинаковые масштабы.

Напротив, местное время а непосредственно нельзя считать «временем» системы отсчета S, и именно по той причине, что два точечных события, происходящие в разных точках S, в смысле нашего определения неодновременны, когда их местные времена равны. Если какиелибо двое часов в S в момент t = О синхронны относительно 5 и совершают указанные движения, то они всегда остаются синхронными относительно S. Но в соответствии с §4 эти часы не будут синхронными относительно системы отсчета S', мгновенно покоящейся относительно S, но движущейся относительно S, и, следовательно, по нашему определению, они не будут синхронными относительно S.

Определим теперь «время» т системы отсчета S как совокупность тех показаний часов, находящихся в начале координат системы отсчета S, которые в смысле нашего определения являются одновременными с рассматриваемыми событиями1.

Найдем теперь соотношение между временем т и местным временем и точечного события. Из первого уравнения (1) следует, что два события одновременны относительно 5', а следовательно, и относительно S, при условии

причем индексы указывают на принадлежность к тому или другому точечному событию. Ограничимся сначала рассмотрением таких коротких промежутков времени2, что можно отбросить все члены, содержащие вторую или более высокие степени т или v; тогда с учетом (1) и (29) следует положить (см. примечание редактора на стр. 135. — Ред.)

v = 7 * = 7Т?

так что из написанного выше соотношения получается

1 Таким образом, символ г применяется здесь в другом смысле, чем было выше. 2Тем самым, согласно уравнению (1),предполагается также известное ограниче-

ние значений £ = ж'.