Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
новая папка / Колебания авто.pdf
Скачиваний:
69
Добавлен:
26.05.2017
Размер:
4.91 Mб
Скачать

2.3. Динамическое гашение вынужденных колебаний

Динамическое гашение является одним из примеров практического приложения теории вынужденных колебаний многомассовых систем.

Рассмотрим вынужденные колебания двухмассовой системы, описанной в п. 2.2, под воздействием возбуждающей силы P0 sinΖt , приложенной к массе m1 .

Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

m1x1 c1 c2 x1 c2 x2

 

P0 sinΖt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.13)

m

 

x

c x c x 0.

 

 

 

 

 

 

 

°

 

2

2

2

2

2

1

 

 

 

 

 

 

Принимая

x1

ai sinΖt , найдём амплитуды вынужден-

ных колебаний:

 

 

P0 c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

m2Ζ2

;

a

 

P c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

,

(2.14)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где c1 c2 m1Ζ2 c2 m2Ζ2 c22 .

Первое из полученных выражений указывает на возможность полностью исключить вынужденные колебания первой массы. Для этого достаточно так подобрать параметры системы, чтобы выполнялось условие:

c m Ζ2

0.

 

(2.15)

2

2

 

 

 

В этом случае парциальная частота динамического га-

сителя будет равна частоте возбуждения

Ζ(r)

c m Ζ

 

 

 

0

2

и a1 0.

Устройство, состоящее из некоторой дополнительной массы, упруго связанной с изделием так, чтобы выполнялось найденное условие, называется динамическим гасителем колебаний. Эффект динамического гашения объясняется тем, что масса m2 колеблется в противофазе с возбуждающей силой и действие последней полностью компенсируется реакцией упругой связи c2.

22

Принцип динамического гашения колебаний широко применяется в автомобилестроении, в конструкции летательных аппаратов и двигателей. Обычная область применения – гашение вибрации различных приборов, агрегатов, валов, трубопроводов, пластин, режущего инструмента и других элементов конструкции. В своём классическом исполнении динамический гаситель представляет собой инертную массу, упруго связанную с основной колебательной системой. Как правило, это компактный, достаточно технологичный резинометаллический модуль, в котором роль упругого, демпфирующего и связующего элементов выполняется резиной или аналогичным материалом.

Главный недостаток динамического гашения заключается в следующем. Динамический гаситель, особенно без трения или с очень малым трением, нуждается в точной настройке, при которой его парциальная частота была бы в точности равна частоте возбуждения. Если частота возбуждающей силы не постоянна, то с её изменением возможно появление резонансов с дополнительными, так называемыми «боковыми» собственными частотами, которые неизбежно появляются с установкой самого гасителя по обе стороны от точки настройки.

Наличие резонансных «боковых» частот крайне нежелательно для многорежимных машин, имеющих широкий частотный диапазон возбуждающих нагрузок. В этих условиях динамический гаситель не только не приносит пользы, но оказывается даже вредным. Для устранения указанного недостатка могут быть использованы следующие методы:

введение демпфирования в систему гасителя, например, за счёт внутреннего трения в материале упругого элемента;

применение самонастраивающихся динамических гасителей, парциальные частоты которых автоматически изменяются вслед за изменением частоты возбуждения; таковы, например, маятниковые гасители крутильных колебаний коленвалов двигателей внутреннего сгорания;

23

Pk (t)

применение пакета динамических гасителей, установленных параллельно и несколько отличающихся друг от друга частотой настройки;

введение в системы гасителей гидравлического сопротивления.

Вопросы оптимизации динамического гашения рассмотрены в разделе 9.

2.4.Вынужденные колебания без учёта сил сопротивления

Рассмотрим движение колебательной системы с r степенями свободы, к каждой массе которой прикладывается возбуждающая сила Pk . Дифференциальные уравнения движения, полученные по методу сил, запишем в виде:

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

xi

ƒ)k

ik ƒPko sinΖt, )k

 

 

(2.16)

 

mk xk .

 

 

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

Принимая xi ai

sinΖt и подставляя в (2.16), получим си-

стему линейных алгебраических колебаний:

 

 

a1 1 m1Ζ2

11 a2m2Ζ2

 

 

 

 

r

 

½

12 ... ar mrΖ2

1r

¦Pko

Ik

;°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

¾. (2.17)

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

°

a1m1Ζ

 

r 2 ... ar (1 mrΖ

rr )

¦Pko

 

r1 a2m2Ζ

 

 

rk

;°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

¿

Отсюда по формуле Крамера найдём амплитуды вынуж-

денных колебаний а1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

'i ' ,

 

 

 

 

 

где – определитель системы (2.14);

i – определитель, полу-

ченный из

путём замены в последнем i-го столбца столбцом

свободных членов.

Определитель системы остаётся тем же, что и при свободных незатухающих колебаниях. Это означает, что при частоте

24

возбуждающей нагрузки, приближающейся к одной из собственных частот, значение определителя уменьшается до нуля и амплитуда вынужденных колебаний формально становится бесконечно большой.

2.5. Вынужденные колебания с учётом сил сопротивления

При наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости, дифференциальные уравнения движения имеют вид:

r

 

r

 

r

 

xi ¦) j

ij ¦Fcj

ij ¦Pjo sinΖt ij ,

(2.18)

j 1

 

j 1

j

1

 

 

– силы инерции; Fcj

 

 

где ) j m j x j

Π j x j – силы сопро-

тивления; Pj (t) – возбуждающая нагрузка.

Характер влияния сил сопротивления на вынужденные колебания многомассовых систем в общем остаётся тем же, что и для систем с одной степенью свободы. Это означает, что амплитуды вынужденных колебаний конечны на всех режимах возбуждения, включая резонансные, а фазы вынужденных колебаний различных точек отличаются от фазы возбуждающей силы и не совпадают между собой. Найдём решение в виде:

 

 

 

xi

ai sinΖt bi

cosΖt.

 

(2.19)

Подставив (2.19) в (2.18), приходим к системе уравнений:

r

 

 

r

 

 

n

 

 

 

 

ai ¦a j m jΖ2

ij

¦Π jΖbj

ij

¦Pjo

ij ;°

 

 

j 1

 

 

j

1

 

 

j

1

° , i, j 1...r.

(2.20)

n

 

 

n

 

 

 

 

 

°

 

 

bi ¦bj mjΖ

2

ij

¦Π jΖa j

ij

0.

 

 

 

 

 

°

 

 

j 1

 

 

j

1

 

 

 

 

 

 

 

При этом амплитуды Ai

и фазы вынужденных колебаний

будут равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

a2 b2 ; Μi

 

arctg bi

.

(2.21)

 

 

i

 

i

i

 

 

 

 

ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25