1 семестр МП / РПК / Кинематика. Динамика. Законы сохранения / lect4_m1_of_tks_fizika1_231000.62

Дисциплина. Физика 1. Механика. Термодинамика

Модуль 1.1. Кинематика. Динамика. Законы сохранения

Лекция 4. Законы сохранения.

Основные понятия: Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса. Центр масс. Теорема о движении центра масс. Система отсчета центра масс.

Работа, мощность, энергия. Работа и кинетическая энергия. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Механическая энергия системы материальных точек. Законы сохранения и изменения механической энергии системы материальных точек.

План лекции

1. Закон изменения импульса для одной материальной точки. Импульс системы материальных точек. Сохранение импульса системы взаимодействующих тел. Уравнение движения тела с изменяющееся массой – уравнение Мещерского. Центр масс. Теорема о движении центра масс системы материальных точек. Система отсчета центра масс.

2. Работа, мощность, энергия. Работа и кинетическая энергия. Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема об изменении кинетической энергии.

3. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.

4. Механическая энергия системы материальных точек. Законы сохранения и изменения механической энергии системы материальных точек.

5. Собственная кинетическая энергия системы материальных точек и теорема Кенига.

Краткое содержание

1.1 Закон изменения импульса для одной материальной точки.

Второй закон Ньютона для материальной точки, когда на нее действует постоянная сила, может быть переписан в виде закона изменения импульса

- приращение импульса материальной точки равно импульсу силы (произведению силы на время, за которое импульс точки изменился на), действующей на материальную точку.

1.2. Импульс системы материальных точек.

Импульс системы материальных точек – это сумма (конечно векторная) импульсов материальных точек:

.

1.3. Сохранение импульса системы взаимодействующих тел.

Производная импульса системы материальных точек по времени равна сумме всех сил, действующих на систему, и, с учетом третьего закона Ньютона, равна сумме внешних сил, действующих на систему материальных точек:

.

Из закона изменения импульса следует, что если , то - закон сохранения импульса.

Для проекций на выделенное направление X можно утверждать, что из следует , если .

1.4. Уравнение движения тела с изменяющееся массой – уравнение Мещерского.

m – масса, - ускорение тела в рассматриваемый момент времени, - сумма всех внешних сил, - реактивная сила.

1.5. Центр масс.

Центром масс системы материальных точек называется точка пространства, радиус-вектор которой находится по формуле

.

Соответственно скорость центра масс равна

.

1.6. Теорема о движении центра масс системы материальных точек.

Ускорение центра масс системы материальных точек, умноженное на массу системы материальных точек, равно сумме всех сил (конечно векторной), приложенных к этим материальным точкам:

1.7. Система отсчета центра масс.

Системой отсчета центра масс (Ц - системой) называется такая система отсчета, относительно которой покоится центр масс рассматриваемой системы материальных точек, и, которая движется поступательно относительно инерциальной системы отсчета.

Использование Ц - системы отсчета позволяет в частности представить движение системы материальных точек в виде суммы движения системы точек как целого и ее внутреннего движения.

2.1. Работа постоянной силы.

- работа постоянной силы, приложенной к телу, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения тела.

2.2. Работа переменной силы.

Разделяем конечное перемещение на такие элементарные перемещения , чтобы на любом из них можно было считать силу постоянной по величине и по направлению. Тогда можно ввести понятие элементарной работы . Затем учитываем замечательное свойство работы - аддитивность (свойство складываться) и получаем формулу для вычисления работы переменной силы .

2.3. Мощность силы.

2.4. Теорема о приращении кинетической энергии.

- приращение кинетической энергии материальной точки или поступательно движущегося твердого тела равно работе всех сил, приложенных к материальной точке или к телу.

3. Потенциальная энергия взаимодействия системы материальных точек. Консервативные и неконсервативные (диссипативные) силы.

Для того чтобы работа силы, приложенной к телу, при переносе тела из позиции 1 в позицию 2

не зависела от формы траектории, необходимо, чтобы сумма

была полным дифференциалом. В свою очередь, для того, чтобы указанная сумма была полным дифференциалом, должны выполняться равенства

; ; .

Только при выполнении этих условий можно сопоставить точкам пространства некоторую функцию координат и назвать ее потенциальной энергией, а силу потенциальной или консервативной. В противном случае сила непотенциальна или неконсервативна (диссипативна).

Определение формулируется не для потенциальной энергии, а для ее приращения

,

или ее убыли

.

Таким образом, потенциальная энергия неопределенна с точностью до постоянной – уровня отсчета потенциальной энергии.

Определение приращения потенциальной энергии в дифференциальной форме имеет вид

.

Отсюда выражение для потенциальной силы через градиент потенциальной энергии

.

4.1 Механическая энергия системы материальных точек. Приращение механической энергии системы материальных точек – закон изменения механической энергии системы материальных точек.

Пронумеруем тела, которые входят в состав системы тел. Все силы, действующие на тела системы, разделяем на внешние и внутренние. Внешние действуют на пронумерованные тела со стороны тел не входящих в систему, внутренние – со стороны одних тел системы на другие тела системы. Вводим по определению механическую энергию E системы тел, как сумму кинетических энергий тел системы и потенциальных энергий их взаимодействия друг с другом. Тогда справедливо следующее утверждение:

-

приращение механической энергии системы тел равно сумме работы внешних сил и работы внутренних диссипативных (неконсервативных, непотенциальных) сил. Это закон (или теорема) изменения механической энергии.

4.2. Сохранение механической энергии.

Назовем систему тел изолированной от внешнего мира, если работа внешних сил равна нулю. Назовем систему тел консервативной, если работа внутренних диссипативных сил равна нулю. Тогда можно утверждать, что механическая энергия изолированной и консервативной системы тел сохраняется:

если и , то или -

это утверждение называют законом сохранения механической энергии системы взаимодействующих тел.

5.1. Собственная кинетическая энергия системы материальных точек.

Собственной кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий материальных точек, вычисленная в системе отсчета центра масс:

.

5.2. Кинетическая энергия системы материальных точек, вычисленная в лабораторной системе отсчета, может быть представлена в виде суммы собственной кинетической энергии и кинетической энергии системы как целого, движущейся со скоростью центра масс относительно лаборатории:

- теорема Кенига.

Лекционные демонстрации

Натурный эксперимент

1. Сохранение импульса

Маятник на тележке.

Взаимодействующие тележки.

2. Упругий и неупругий удары.

Учебно-методические материалы

Основная литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, кн. 1. – М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2004, §§3.10, 3.3, 3.2,3.4-3.7….

2. Иродов И. Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007, §§3.1-3.4, 4.1-4.5.….