1 семестр МП / РПК / Кинематика. Динамика. Законы сохранения / lect2_m1_of_tks_fizika1_231000.62

Дисциплина. Физика 1. Механика. Термодинамика

Модуль 1.1. Кинематика. Динамика

Лекция №2. Кинематика твердого тела

Основные понятия. Абсолютно твёрдое тело, поступательное движение, вращательное движение, плоское движение, полярные и аксиальные вектора, угловая скорость, угловое ускорение, мгновенная ось вращения.

План лекции

1. Основные определения. Абсолютно твёрдое тело. Типы движений твёрдого тела. Степени свободы.

2. Поступательное движение твёрдого тела.

3. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

4. Плоское движение твёрдого тела как суперпозиция чисто поступательного и чисто вращательного движения.

5. Мгновенная ось. Доказательство того, что плоское движение твёрдого тела можно свести к чисто вращательному движению с помощью введения мгновенной оси.

Краткое содержание

1. Основные определения. Абсолютно твёрдое тело. Типы движений твёрдого тела. Степени свободы.

Абсолютно твердым телом или просто твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени.

Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступательное, 2) вращательное вокруг неподвижной оси, 3) плоское, 4) движение вокруг неподвижной точки, 5) свободное. Первые два вида движения являются основными. Остальные виды движения твердого тела можно свести к их совокупности.

Количество независимых величин, необходимых для задания положения тела (или системы тел) в пространстве, определяет число степеней свободы тела (или системы тел).

2. Поступательное движение твёрдого тела.

Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При таком движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это позволяет свести изучение поступательного движения тела к изучению движения отдельной точки. Поступательное движение твёрдого тела характеризуется тремя степенями свободы (),

3. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси - это такое движение твердого тела, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Дать определение вектора бесконечно малого угла поворота и с помощью этой величины определить угловую скорость и угловое ускорение как аксиальные векторы (см. рис. 1). Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси характеризуется одной степенью свободы (),

Угловая скорость - есть аксиальный вектор, численно равный углу поворота твёрдого тела в единицу времени, направленный вдоль оси вращения тела, причём это направление определяется правилом правого винта. Вектора, направление которых задаётся правилом и связано с осью вращения, называются аксиальными.

Есть полезная аналогия между одномерным поступательным движением материальной точки и вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Величине перемещения соответствует угловое перемещение .

Скорости соответствует угловая скорость .

Ускорению соответствует угловое ускорение .

Если твёрдое тело участвует одновременно в двух вращениях, характеризующихся угловыми скоростями и (например, Земля вращается относительно Солнца и одновременно вращается вокруг собственной оси), то результирующая угловая скорость находится векторным сложением угловых скоростей:

Вывод соотношений: , ,

где , , , . Здесь - радиус-вектор, проведенный из начала координат (точка , лежащая на оси вращения) к рассматриваемой точке твёрдого тела, - радиус окружности, по которой вращается эта точка, и - её скорость и ускорение.

4. Плоское движение твёрдого тела как суперпозиция чисто поступательного и чисто вращательного движения.

Плоским движением твердого тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости. Для изучения такого движения достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой-либо одной плоскости.

Плоское движение твёрдого тела характеризуется тремя степенями свободы ().

Вывод соотношения: . Здесь введены две системы координат (СК): одна лабораторная СК, неподвижная относительно Земли с началом в точке , другая подвижная относительно лабораторной СК, но неподвижная относительно твёрдого тела с началом в точке . Тогда - скорость точки относительно неподвижной СК. - скорость рассматриваемой точки твёрдого тела относительно неподвижной СК, а - радиус-вектор этой точки в подвижной СК. (см. рис. 2)

Нахождение ускорения некоторой точки твёрдого тела при плоском движении по формуле

,

где – ускорение точки относительно неподвижной СК,

– тангенциальное, а

– нормальное ускорения рассматриваемой точки при её вращении вместе с подвижной СК. Важно отметить, что величина поворота тела на угол , а значит и угловая скорость не зависят от выбора точки

5. Мгновенная ось. Доказательство того, что плоское движение твёрдого тела можно свести к чисто вращательному движению с помощью введения мгновенной оси.

Если при плоском движении твёрдого тела в качестве точки выбрать такую точку, которая в данный момент времени неподвижна (доказать, что такую точку всегда можно найти), то мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку .

Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точку тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называют мгновенной осью вращения.

Положение мгновенной оси вращения с течением времени меняется, поэтому и распределение скоростей разных точек относительно мгновенной оси также будет меняться с течением времени.

Движение вокруг неподвижной точки характеризуется тремя степенями свободы (), свободное движение твёрдого тела характеризуется шестью степенями свободы ().

Лекционные демонстрации

1. Плоское движение

- качение колеса;

- эффект Магнуса;

- мгновенная ось.

2. Макет сложения векторов угловой скорости.

3. Стробоскопический эффект.

Учебно-методические материалы

Основная литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, кн. 1.Механика. – М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2004, §§ 1.2, 1.5, 5.1….

2. Иродов И. Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007, §§ 1.2….

3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. т. 1. М.: ФИЗМАТЛИТ МФТИ, 2009,

§§ 3, 4, 7, 8, 44-46.…

5