Лабораторная работа № 6 Изучение закона сохранения момента импульса

Цель работы: экспериментальная проверка закона сохранения момента импульса на примере двух дисков, вращающихся вокруг неподвижной оси.

Оборудование: установка, включающая два диска и четыре груза, электронный миллисекундомер, штангенциркуль, миллиметровая линейка.

Продолжительность работы - 4 часа.

Теоретическая часть. Описание установки

Закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов природы. Прежде чем его сформулировать, остановимся на ряде понятий и соотношений, связанных с вращательным движением.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Z описывается уравнением

, (1)

где - проекция момента импульса тела на ось вращения;- проекция момента внешних сил, действующих на тело, на ту же ось (см. приложение).

Проекция момента импульса твердого тела на ось равна произведению момента инерциитела относительно этой оси на угловую скорость вращения

. (2)

Момент инерции тела - это величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Количественно момент инерции равен

,

где - элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла:

,

где и- масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянииr от интересующей нас оси; - плотность тела. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Например, для цилиндра или диска можно получить следующую формулу для нахождения величины момента инерции относительно оси, совпадающей с осью цилиндра или диска:

, (3)

где- масса; - радиус цилиндра или диска.

Уравнение (1) можно распространить и на систему тел, понимая под исуммарный момент импульса системы тел и суммарный момент внешних сил, действующих на эту систему, относительно оси

Из уравнения (1) следует важный вывод: момент импульса тела или системы тел относительно оси вращения может изменяться под действием только суммарного момента внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает другой важный вывод - момент импульса тела или системы тел относительно оси вращения остается постоянным, если суммарная проекция момента внешних сил, действующих на тело или систему тел, на ось вращения равна нулю.

Таким образом, если проекция момента внешних сил на ось вращения равна нулю, то из уравнений (1) и (2) следует

.

Обратим внимание на то, что если в процессе вращения момент инерции системы тел изменяется, то изменяется и угловая скорость вращения. При этом

. (4)

Посколькугде- период вращения, то из выражения (4) следует:

, (5)

т.е. отношение периодов вращения равно отношению моментов инерции. Это соотношение и проверяется в данной работе.

Теорема Штейнера, которой мы будем пользоваться, гласит: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерцииэтого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массытела на квадрат расстояниямежду осями:

. (6)

Лабораторная установка (рисунок) представляет собой вращающийся вокруг вертикальной оси диск 1, закрепленный с помощью подшипников на массивном основании 2. На ободе диска имеются два выступающих штыря 3, служащих для приведения его во вращение. Кроме

6

5

1

4

7

3

2

Схема установки

того, при последовательном пересечении штырями луча специального фотодатчика 4, связанного с миллисекундомером 7, определяется период вращения. На этот диск сверху можно опустить другой диск 5, меняя таким образом момент инерции системы. Для увеличения диапазона изменения моментов инерции на верхнем диске имеются два ряда взаимно перпендикулярных отверстий, в которые для фиксации положения могут вставляться штыри дополнительных грузов 6 (грузы имеют цилиндрическую форму). Для улучшения центровки системы при опускании верхнего диска на нижнем имеется осевой конический выступ.