Лабораторная работа № 3

Изучение равноускоренного движения тел

на примере их свободного падения

в поле тяготения Земли

Цель работы: используя законы механики Ньютона, теоретически найти временную зависимость перемещения тела в поле тяготения Земли и экспериментально убедиться в справедливости полученных теоретических результатов.

Оборудование: установка, включающая штангу с закрепленными на ней электромагнитом и двумя фотодатчиками, стальной шарик, электронный миллисекундомер и миллиметровую линейку.

Продолжительность работы- 4 часа.

Теоретическая часть. Описание установки

Рассмотрим свободное падение тела массы в поле тяготения Земли вблизи ее поверхности. В этом случае в системе отсчета, связанной с Землей, на тело действует сила тяжести, которая включает силу тяготения, обусловленную гравитационным взаимодействием тела с Землей, и центробежную силу инерции, вызванную суточным вращением Земли, т.е.(рис.1). Следует отметить, что на тело, кроме указанных сил, действуют и другие силы, например, связанные с взаимодействием тела с Солнцем, Луной и другими космическими объектами, а также силы инерции, такие как сила инерции Кориолиса, зависящая от движения тела во вращающейся системе отсчета, и силы инерции, обусловленные вращением Земли вокруг Солнца. Однако в нашем случае эти силы по модулю значительно меньше силии поэтому не учитываются.

Рис.1. Силы, действующие на тело, в системе

отсчета, связанной с Землей

В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона силу притяжения можно записать в виде

(1)

где - гравитационная постоянная;-  масса Земли;- радиус Земли;- высота;- единичный вектор (), направленный к центру массы Земли.

Выражение для центробежной силы инерции имеет вид:

, (2)

где- угловая скорость вращения Земли;- радиус-вектор, определяющий положение тела относительно оси вращения Земли.

В связи с малостью численного значения скорости вращения Земли () центробежная сила инерции по модулю гораздо меньше силы притяжения () и в нулевом приближении ею можно пренебречь. Тогда можно считать, что сила тяжести приблизительно равна силе притяжения (). Тот факт, что при решении нашей задачи можно не учитывать действие силы инерции, дает возможность считать систему отсчета, связанную с Землей, инерциальной. Это позволяет для описания движения использовать законы Ньютона.

Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела:

, (3)

где - ускорение тела.

Из (3) следует, что

. (4)

Будем рассматривать случай, когда тело находится на высоте над поверхностью Земли, много меньшей радиуса Земли (). Тогда (4) приближенно можно записать в виде

. (5)

Величину обычно обозначаюти называют ускорением свободного падения,

. (6)

Анализ соотношений (5) и (6) показывает, что ускорение, с которым будет двигаться тело в поле тяготения Земли, равно ускорению свободного падения, а именно, .

Известно, что при равноускоренном движении модуль вектора ускорения и его направление в пространстве не должны изменяться в процессе движения. В нашем случае, строго говоря, это может иметь место только при движении тела вдоль радиальной прямой, проходящей через центр массы Земли.

Из (5) и (6) с учетом, что , где- скорость и- время, непосредственно следует

. (7)

0

0

а

б

Рис.2. Схематическое изображение положения тела и его скорости в начальный момент времени и в момент времени t (а) и перемещение тела (б)

Проинтегрировав (7) с начальным условием (рис.2,а), получим:

. (8)

Приняв во внимание, что , где- элементарное перемещение, уравнение (8) преобразуем к виду

. (9)

Проинтегрировав (9) с учетом начального условия (рис.2,б), будем иметь:

, (10)

где и- векторы, характеризующие положение тела в начальный момент времени и в момент времени.

Разность векторов называется перемещением тела за время, которое в соответствии с (10) можно записать следующим образом:

. (11)

Векторы ,инаправлены вдоль оси. Следовательно, движение тела будет одномерным. В этом случае, спроектировав перемещение тела (11) на ось, получим:

. (12)

Отношение перемещения к промежутку времени, за который произошло это перемещение, определяет среднюю скорость тела:

. (13)

Анализ выражения (13) показывает, что средняя скорость линейно зависит от времени перемещения тела, причем удвоенное значение углового коэффициента прямой равно ускорению свободного падения, а значение свободного члена равно начальной скорости. Этот результат теоретического исследования может быть положен в основу экспериментального определения значений данных физических величин.

Механическая часть установки для экспериментального изучения движения тел в поле тяготения Земли схематично представлена на рис.3. Она состоит из массивного штатива 1, на котором с помощью кронштейнов крепятся электромагнит 3 и два фотодатчика 5. Электромагнит предназначен для удержания стального шарика 4, параметры движения которого при его свободном падении изучаются в данной работе. Для тонкой регулировки положения электромагнита, а следовательно и шарика, относительно верхнего фотодатчика служит винт 2. Кронштейны с фотодатчиками могут перемещаться по штанге штатива. Фиксация положения кронштейнов осуществляется винтами 6.

Измерение времени проводится с помощью электронного миллисекундомера, соединенного с двумя фотодатчиками и магнитом. При нажатии кнопки ″Пуск″ на передней панели миллисекундомера ток в цепи

электромагнита прерывается и шарик перестает удерживаться электромагнитом. При падении шарик пересекает лучи света, направленные на фотодатчики, при этом верхний фотодатчик включает миллисекундомер, а нижний фотодатчик его выключает. Таким образом измеряется время пролета шарика между фотодатчиками. Подготовка миллисекундомера к очередному измерению происходит при нажатии кнопки ″Сброс″.