
1 семестр МП / Лабы / LAB9
.docЛабораторная работа № 9
Определение момента инерции плоского
твердого тела относительно различных осей
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей с помощью трифилярного подвеса.
Оборудование: установка, миллиметровая линейка, секундомер.
Продолжительность работы - 4 часа.
Теоретическая часть. Описание установки
Момент инерции - это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением
,
(1)
где-
элементарные массы тела;
-
их расстояния от оси вращения.
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
,
(2)
где
и
-
масса и объем элемента тела, находящегося
на расстоянии
от интересующей нас оси;
-
плотность тела. Интегрирование должно
производиться по всему объему тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Например, для плоскопараллельной пластины можно получить следующую формулу для нахождения величины момента инерции относительно оси, перпендикулярной ее плоскости и проходящей через центр масс пластины:
(3)
где-
масса;
и
- длины сторон пластины.
Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численными методами.
Э
Рис.1.
Трифилярный подвес
Найдем период
малых крутильных колебаний платформы
с помещенным на нее телом (тело на рис.1
не изображено). При повороте платформы
нити, на которых она подвешена, отклоняются
от положения равновесия, при этом
возникает момент сил
относительно
оси ОО¢,
стремящийся вернуть платформу в положение
равновесия.
Движение платформы вокруг оси ОО¢ описывается уравнением
(4)
где
-
момент инерции платформы и тела
относительно этой оси;
-
их угловое ускорение.
Период колебаний можно рассчитать из уравнения (4), но для этого
надо знать
зависимость момента сил
от
угла поворота
.
При повороте
платформы изменяется ее потенциальная
энергия, так как центр масс платформы,
перемещаясь вдоль оси вращения,
поднимается на некоторую высоту
Модуль момента сил
связан
с изменением потенциальной энергии П
соотношением
,
(5)
где-
масса платформы с телом.
Таким образом,
определение зависимости момента сил
от
угла
сводится к определению зависимости
высоты
от
На
рис.2 платформа и одна из нитей подвеса
АВ изображены в положении равновесия
Рис.2. Подъем центра масс платформы на высоту h при ее повороте на угол a
(пунктирная линия)
и в положении, когда платформа повернута
на угол a (сплошная
линия
).
Пусть
- длина нити;
и
-
расстояния от оси вращения до точек
крепления нити соответственно на
платформе и верхнем диске.
Тогда
.
Поскольку
,
,
,
то
.
При малых колебаниях
платформы можно считать, что
и
Тогда последнее выражение принимает
вид:
,
(6)
где
-
расстояние между платформой и верхним
диском.
Решив совместно уравнения (4) - (6), получим:
Данное уравнение описывает гармонические колебания платформы
период которых равен
.
Таким образом, при
известных параметрах установки
экспериментально определив период
колебаний платформы
можно
рассчитать момент инерции:
.
(7)
Напомним, что
и
-
расстояния от оси вращения до точек
крепления нитей соответственно на
платформе и верхнем диске.
Формула (7) может
быть использована для определения
величин момента инерции
пустой платформы (в этом случае
-
масса платформы) и момента инерции
платформы с помещенным на нее телом
(
-
сумма масс платформы и тела). Зная
и
,
можно рассчитать момент инерции тела
относительно оси вращения платформы:
.
В данной работе определяются моменты инерции тонкой плоскопараллельной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке (рис.3). Если оси X и Y лежат в плоскости пластины, а ось Z перпендикулярна ей, то моменты инерции тонкой пластины относительно этих осей связаны соотношением
Рис.3.
Плоскопараллельная пластина
.
(8) Отметим,
что это выражение выполняется для
плоского тела любой формы.
Докажем справедливость
выражения (8). Если пластина тонкая, то
можно считать, что все вещество
распределено в плоскости XY,
поэтому координаты z
всех точек пластины равны нулю. Выделим
в пластине материальную точку массой
(см.
рис.3) с координатами
Моменты инерции этой точки относительно осей X, Y и Z равны соответственно:
,
(9)
,
(10)
.
(11)
Сложим уравнения (9) и (10):
.
(12)
Сравнивая правую часть выражения (12) с уравнением (11), получим:
.
Просуммируем правую и левую части этого уравнения по всему объему пластины:
.
Воспользовавшись определением момента инерции тела (1), получим:
,
что и требовалось доказать.
Экспериментальная часть
Упражнение 1. Определение момента инерции пустой платформы.
С помощью секундомера определите время 50 колебаний пустой платформы. Крутильные колебания сообщаются платформе поворотом верхнего диска при помощи рукоятки, связанной с ним. Этим достигается почти полное отсутствие других типов колебаний (некрутильных).
Рассчитайте период
колебаний и, используя формулу (7),
определите момент инерции пустой
платформы
Сравните полученное значение с
теоретическим, рассчитанным по формуле
,
где
- радиус платформы.
Упражнение 2. Определение момента инерции пластины и проверка соотношения (8).
Располагая пластину
на платформе тремя различными способами,
определите (так же, как в упражнении 1)
моменты инерции пластины с платформой.
Вычитая из полученных значений величину
момента инерции пустой платформы,
рассчитайте моменты инерции пластины
и
Сравните
значение момента инерции пластины
с
теоретическим значением, рассчитанным
по формуле (3).
Проверьте соотношение (8), которое должно выполняться в пределах погрешности.
Литература
-
Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 1. - §§ 31 - 33.
-
Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. - §§ 5.3, 5.4, 5.6, 8.1, 8.4, 8.5.
-
Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физматлит, 2001. - § 6.1.