13.Энергия колеблющегося тела.

Собственные колебания Земли.

Известный математик А.Е.Г. Ляв еще в 1911 г теоретически рассчитал, что стальной шар размером с Землю будет иметь период собственного основного колебания около 1 часа. Однако впервые колебание с периодом 57 мин было обнаружено Беньоффом после сильнейшего землетрясения на Камчатке 4 ноября 1952 г. После сильнейшего Чилийского землетрясения в мае 1960 г. на сейсмографах в разных точках земного шара волны с очень длинными периодами (54 мин) четко наблюдались в течение многих дней. Эти волны являются собственными колебаниями Земли, которые могут быть вызваны землетрясениями достаточно большой энергии. В наблюдаемом спектре обнаруживается много пиков более быстрых колебаний.

По характеру деформаций среды и смещению в ней частиц собственные колебания подразделяются на радиальные и сфероидальные, с одной стороны, и на крутильные или тороидальные – с другой стороны. При радиальных деформациях частицы смещаются по радиусу, а при сфероидальных – по сферическим поверхностям.

К настоящему времени зафиксировано около тысячи собственных частот Земли с периодами от 35 до 55 мин., которые являются интегральными характеристиками планеты и наряду с ее массой и моментом инерции используются для изучения распределения плотности в недрах Земли, модулей сжатия и сдвига, а также гравитационного поля.

Важные сведения о неупругих свойствах глубоких частей Земли получаются из наблюдений затухания собственных колебаний.

Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярные векторные величины x и y, изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой ω по гармони­ческому закону

(6)

где e_x и e_у — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины

, , (7)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоих колебаний. Выражения (6) пред­ставляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (6) параметр t. Из первого уравне­ния следует, что

(8)

Соответственно

(9)

Развернем косинус во втором из уравнений (6) по формуле для косинуса суммы:

Подставим вместо cosωt и sinωt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение

(10)

Это уравнение эллипса, оси которого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз α равна нулю.

В этом случае уравнение (10) упрощается следующим образом:(11)

Отсюда получается уравнение прямой:

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и ам­плитудой, равной (рис. 5а).

2. Разность фаз α равна ±π.

Уравнение (10) имеет вид(12)

Следовательно, результирующее движение представ­ляет собой гармоническое колебание вдоль прямой(рис. 5б)

Рис.5.

3. Разность фаз .

Уравнение (10) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:(13)

Рис.6.

Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.

Случаи и отличаются на­правлением движения по эллипсу или окружности.

Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярных колебаний:

,

(знак плюс в выражении для у соответствует движе­нию против часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).

Если частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами Лиссажу.