1. Положение движущегося тела в пространстве можно определить лишь относительно некоторого определенного другого тела, наз. телом отсчета, которое условно считается неподвижным. Определить положение точки или тела «по отношению к пустому пространству» невозможно и физически бессмысленно. Связывая с телом отсчета произвольную систему координат, мы получим систему отсчета положений материальной точки. Система отсчета должна быть хронометрирована, т.е. снабжена «часами», с помощью которых однозначно определяются моменты времени.

Простейшей системой отсчета явл.прямоугольная система координат OXYZ (декартова), рис. 1. Положение точки М в этой системе координат характеризуется тремя координатами: X,Y,Z.

Z r = Xi + YJ + Zk



r M(X,Y,Z)



• 

k Y

i  j



X

Рис.1. Прямоугольная система координат.

Сферическая система коордтнат: М(r,,).

Существуют и другие системы координат: цилиндрическая, полярная.

Во всех случаях при различном выборе системы отсчета радиус вектор r (векторный метод описания) и положение точки в пространстве (координатный метод) характеризуются количественно тремя числами, которые могут изменяться независимо друг от друга. Это является математическим отражением того факта, чтопространство трехмерно.

Если тело не испытывает воздействия со стороны других тел, то оно называется свободно движущимся телом.

Если в качестве системы отсчета выбрать систему, связанную с каким–либо свободно движущимся телом, то в такой системе свободное движение других тел происходит прямолинейно и равномерно (с постоянной по величине и направлению скоростью). Это утверждение составляет содержание закона инерции, впервые открытого Галилеем. Система отсчета, связанная со свободно движущимся телом, наз. инерциальной системой отсчета. Закон инерции наз. также первым законом Ньютона.

Если некоторая система движется по отношению к инерциальной системе с постоянной (по величине и направлению) скоростью, то она также будет инерциальной.

Все физические явления протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета, которые являются, таким образом, физически неотличимыми друг от друга или эквивалентными. Поэтому все физические явления изучаются в инерциальных системах отсчета. Этот закон называется принципом относительности.

Наиболее обычной является система отсчета связанная с земным шаром. Эта система не явл. инерциальной в силу суточного вращения Земли вокруг своей оси и кругового движения вокруг Солнца. Эти скорости движения Земли неодинаковы и непостоянны, поэтому эта система – неинерциальна. Однако при этом мы делаем весьма небольшую ошибку, несущественную для целого ряда физических экспериментов, принимая «земную» систему отсчета в качестве инерциальной.

Поскольку три величины, характеризующие положение точки в пространстве, взаимно независимы, говорят, что мат. точка обладает тремя степенями свободы. (Дать определеление ст.свободы).

Если материальная точка движется, то ее координаты с течением времени изменяются, т.е. величины X,Y,Z и радиус вектор r являются функциями времени:

r=r(t)

X =X(t) (1)

Y=Y(t)

Z=Z(t)

Функции времени, определяющие координаты движущейся точки в любой заданный момент времени, называются кинематическим законом движения.

Действительно, задавая тот или иной определенный момент времени, всегда можно в результате подстановки его конкретного численного значения в (1) определить все три координаты движущейся точки, соответствующие этому моменту времени, т.е. установить, где она будет находиться в данный момент времени. Если t = t₀, то имеем начальные условия.

Установление кинематического закона движения материальной точки и составляет основную задачу механики материальной точки. Зная его, можно определить положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени.

Совокупность последовательных положений, занимаемых точкой М в процессе ее движения, образует в пространстве линию, называемую траекторией движущейся точки. Кинематический закон движения определяет и траекторию движущейся точки.

Если из первого уравнения системы (1) выразить t =f₁(x) и подставить в остальные два уравнения, то получим:

Y = f₂f₁(x) = F(x);

Z = f₃f₁(x) =Ф(х) (2)

Траектория движущейся материальной точки аналитически задается уравнениями вида (2).

Если траектория является прямой линией, то движение называется прямолинейным. Движение, характеризующееся криволинейной траекторией, называется криволинейным. Расстояние, отсчитанное вдоль траетории движущегося тела, которое проходится им за некоторый отрезок времени, называется длиной пути (или путем). Движение, при котором тело за произвольные равные промежутки времени проходит равные пути, называется равномерным. Если же за какие-либо два равных отрезка времени телом проходятся различные пути, движение будет неравномерным.

Совершая движение, различные тела за одинаковые отрезки времени проходят неодинаковые пути. Чем больше путь, проходимый телом за некоторый определенный промежуток времени, тем быстрее это тело движется. Для количественной оценки быстроты механического движения вводится понятие скорости. Чем быстрее тело движется, тем больше его скорость.

В случае равномерного прямолинейного движения скорость равна отношению проходимого телом пути к отрезку времени, за который он проходится, т. е. равна пути, проходимому телом за единицу времени.

Если t₁  S₁, t₂  S₂, то за t = t₂ – t₁ тело проходит путь S=S₂-S₁

Следовательно, скорость

V = (S₂ – S₁)/ (t₂ – t₁) = S/ t, т.е. S t, a V = const. (по величине!).

Рассмотрим теперь общий случай неравномерного криволинейного движения. Пусть в момент времени t движущееся точечное тело занимает положение М, рис.2, характеризующееся радиус-вектором r или координатами X,Y,Z.

Рис.2. Cферическая система

К моменту времени t₁ = t + t тело займет положение М₁, характеризующееся r₁ и X₁,Y_1,Z₁. За время t = t₁ – t координаты тела изменяются на X = X₁ – X,  Y = Y₁ – Y, Z = Z₁ – Z, a r=r₁ -r. При этом проекции вектора r на оси координат будут соответственно равны: X = r cos(r,X);

Y = r cos(r,Y);

Z = r cos(r,Z);

r= Xi + Yj +Zk,

а величина вектора r равна

r =  (X)² + (Y)² + (Z)² .

Вектор r , направленный из начального в конечное положение движущегося в течение времени t точечного тела, наз. вектором перемещения. В общем случае криволинейного движения тела вектор перемещения не совпадает с участком траектории, проходимым телом за соотв. конечный отрезок времени, т.е. вектор r – это направленный отрезок прямой, а соответствующий ему участок траектории может быть криволинейным.

Величина V = r/ t, равна среднему изменению радиус-вектора движущейся матер. точки за единицу времени, наз средней скоростью движения. При равномерном прямолинейном движении эта величина, очевидно, равна скорости в любой момент времени, являющейся постоянной величиной, не зависящей ни от выбора момента времени t, ни от величины отрезка времени t.

В случае неравномерного движения с изменением t отношение r/t будет изменяться, т.е. r/t = f(t). Это значит, что средняя скорость окажется неодинаковой при различной величине отрезков t, примыкающих к интересующему нас моменту времени t, поэтому с ее помощью невозможно характеризовать движение в данный момент времени однозначно.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (t0), мы получим вектор истинной, или мгновенной скорости в точке М₁.

V = limV = lim r/t = dr/dt.

t t

Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости V направлен по касательной к траектории. Тогда без учета направления

V  = V = lim r t = lim St = dS/dt.

Lim r/t – производная от r по t и обозначается dr/dt.t

Этот предел и будет скоростью движущейся точки в данный момент времени t, однако, в различные моменты времени ее величина и направление могут быть различными.

Вектор скорости имеет проекции на оси координат равные V_x,V_Y ,V_z и может быть записан

V = dr/dt = V_xi + V_yj + V_zk,

где V_x= dX/dt, V_y = dY/dt, V_z = dZ/dt.

Величина вектора V равна

V =  V_x² + V_y² + V_z² =  (dX/dt)² + (dY/dt)² + (dZ/dt)².

Запишем формулу, связывающую значения скоростей V иV одной и той же материальной точки в двух различных системах отсчета К и К.

V =V +V,

где V –скорость системы К по отношению к системе К.

Эта формула, связывающая скорости одной и той же материальной частицы в разных системах отсчета, называется правилом сложения скоростей. Это правило верно при условии абсолютности течения (одинаковости) времени в этих системах.

Механика, основанная на предположении об абсолютности времени, наз. ньютоновской или классической. Основные законы этой механики были сформулированы Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», опубликованы в 1687 г.

При прямолинейном движении быстрота изменения величины скорости V характеризуется ускорением W, т.е. изменением величины скорости за единицу времени.

В общем случае произвольного криволинейного движения вектор скорости V может изменяться и по величине и по направлению. Быстрота изменения вектора скорости тогда будет характеризоваться некоторым вектором ускорения W.

Пусть в момент времени t скорость материальной точки V, а в момент t₁ = t + t она равна V₁ = V + V . За t = t₁ – t скорость изменится на V = V₁ –V. Изменение скорости за ед. времени (ускорение) будет равно V/t = W - среднее ускорение движущегося точ. тела.

Как и при рассмотрении скорости, W будет неодинаковым для различных отрезков t, взятых от одного момента времени t, т.е. не может служить однозначной характеристикой быстроты изменения вектора скорости в данный момент времени.

Но при уменьшении отрезка t до достаточно малой величины дальнейшее его уменьшение не приводит к изменению отношения Vt, т.е. при t0 отношение Vt будет стремиться к определен- ному пределу:

Lim Vt  dVdt W, t

который дает вектор истинного или мгновенного ускорения.

Ускорение можно представить так

W = dV dt = d dt (dr/dt) = d^2r/dt², т.е. равно второй производной от радиус – вектора по времени.

Отношение вектора V к скаляру t есть вектор, параллельный изменению скорости V. Поэтому ускорение как предел этого отношения при t 0 является вектором, направленным V. Но V- направлен по касательной к траектории. Отсюда следует, что вектор ускорения W ||V и всегда направлен туда, куда с течением времени поворачивается вектор скорости или касательная к траектории, т.е. в сторону вогнутости траектории.

Рис.3

В общем случае криволинейного движения W не параллелен V. Только в случае прямолинейного движения W| | V, если V с течением V₁ времени возрастает, или WV, если V уменьшается.

В случае равномерного прямолинейного движения вектор V с течением времени остается неизменным. Тогда W dV/dt будет равно нулю. Равномерное прямолинейное движение – единственный вид движения без ускорения!!

Если W const и W || V, то в таком случае скорость за любые равные отрезки времени будет изменяться на одинаковую величину и такое движение называется равномерно ускоренным прямолинейным.

S = S₀ + V₀t + Wt²/2; V = V₀ + Wt.

Даже если величина скорости все время остается неизменной по величине, но движение криволинейно, т.е. скорость изменяет свое направление, то ускорение W  0, т.к. V оказывается отличным от нуля при любом конечном значении t. Поэтому равномерное движение точки по окружности есть движение с ускорением, поскольку ее скорость, все время направленная по касательной к данной окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Как и всякий вектор ускорение можно записать через его проекции на оси координат:

W = W_xI + W_yj + W_zk,

где W_x = dV_x/dt = d/dt (dX/dt) = d²X/dt²,

W_y = dV_y/dt = d/dt (dY/dt) = d²Y/dt²,

W_z = dV_z/dt = d/dt (dZ/dt) = d²Z/dt²,

а величина вектора ускорения будет

W =  W_x² + W_y² + W_z².

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его проекции на оси координат удобнее представлять его в виде геометрической суммы двух составляющих, направленных по касательной к траектории и по нормали к траетории. Первая составляющая W_ - тангенциальное или касательное ускорение характеризует быстроту изменения только величины скорости, вторая W_n – наз. центростремительным или нормальным ускорением характеризует быстроту изменения скорости только по направлению.

W =W_ +W_n. W_= dV/dt; W_n=V²/r, а

W W_² + W_n² =  (dV/dt)² + (V²/r)²

Для равномерного криволинейного движ. V = const, W_= 0 иW=W_n.

Для неравномерного прямолинейного движения (r=) W_n=0 иW =W_. Если при этом W=const, то движение равноускоренное. 1.Если  острый, то tg = W_n/W_ > 0. Это значит, что dV/dt > 0, т.к. V²/r > 0, т.е. величина скорости возрастает с течением времени, движение равноускоренное. Если - тупой – движение равнозамедленное.

2.Движение материал. Точки по окружности. Вращательное движение твердого тела.

Наиболее общие случаи вращательного движения – вращение свободного тела или тела, закрепленного в одной точке,- весьма сложны и детально рассматриваются в курсах теоретической физики. Для установления основных закономерностей вращательного движения мы рассмотрим простейший случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остается неизменным.

Рассмотрим абсолютно твердое тело с закрепленной осью ОО, изображенное на рис.3. Проведем через эту ось две плоскости: Q и P.

Рис.3.

Неподвижная плоскость Q будет являться телом отсчета. Подвижная же плоскость Р скреплена с телом и вращается вместе с ним. Мгновенное положение этой плоскости будет характеризоваться величиной двугранного угла . Задание угла поворота  в этом случае целиком определяет положение тела; тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет лишь одну степень свободы. Угол  считается положительным, если вращение происходит таким образом, что при наблюдении вдоль оси сверху вниз угол  отсчитывается по часовой стрелке. При вращении в обратном направлении  <0. При совершении n оборотов угол  = 2n.

Зависимость  = (t) - наз. уравнением вращательного движения тела.

При вращении всего твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Кинематические характеристики различных движущихся точек (S,V, W) связаны друг с другом и с кинематическими характеристиками движения всего тела в целом.

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости Р. Угол поворота всего тела  и путь S, пройденный точкой М, будем отсчитывать от плоскости Q. Если  измерять в радианах, то S и  связаны известным равенством S = r

За промежуток времени t тело повернется на  и точка М пройдет путь S = r.

Делим обе части равенства на t и перейдем к пределу

Lim S/t = r lim /t; (1)

t t

 lim/t = d/dt - угловая скорость t

1 об/мин = 2/60 (рад/с) = /30 (рад/с), Т- период обращения – время в течение которого тело поворачивается волруг неподвижной оси вращения на угол  = 2.

Из (1) следует V = r .

Угловую скорость вращения тела условились считать вектором, направление которого определяется известным правилом винта: если головку винта вращать в направлении вращения тела, то направление движения оси винта совпадает с направлением вектора угловой скорости. Очевидно, что вектор  всегда направлен || ОО в ту или другую сторону в зависимости от направления вращения. В векторном виде

V = r,

откуда V = r sin(,r) =r, т.к. sin 90⁰ = 1.

Очевидно, что угловая скорость будет одинаковой у всех точек вращающегося тела, а линейные скорости различных точек тела по величине будут пропорциональны расстоянию их до оси вращения r.

При неравномерном вращении  изменяется и за t получает приращение ; приращение линейной скорости произвольной точки М V будет равно

V  r  r, т.к. r =соnst.

Разделив обе части этого равенства на t и переходя к пределу, получим

Lim Vt  r lim t = r d/dt = r,

t t

где  - угловое ускорение. = рад/с²

 = d/dt (d/dt) = d²/dt²

Угловое ускорение считается векторной величиной. Вектор углового ускорения направлен ||, если вращение ускоренное и , если движение замедленное.

Линейное ускорение W какой-либо точки вращающегося тела связано с угловыми характеристиками его движения.

Рис.

W_ = dV/dt, но V = r, тогда W_ = d/dt (r) = r d/dt = r. W_n = V²/r = ²r²/r = ²r. Полное ускорение точки W =  W_² + W_n² = r ² + ⁴. tg   W_/W_n = r²r  /².

При равномерном вращении твердого тела   ,   const и  = ₀ + t. При равноускоренном вращении   const,  = ₀ t   ₀ + ₀t + t²/2

равномерное движение точки по окружности есть движение с ускорением, поскольку ее скорость, все время направленная по касательной к данной окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Как и всякий вектор ускорение можно записать через его проекции на оси координат:

W = W_xI + W_yj + W_zk,

где W_x = dV_x/dt = d/dt (dX/dt) = d²X/dt²,

W_y = dV_y/dt = d/dt (dY/dt) = d²Y/dt²,

W_z = dV_z/dt = d/dt (dZ/dt) = d²Z/dt²,

а величина вектора ускорения будет

W =  W_x² + W_y² + W_z².

Часто вместо выражения вектора ускорения через три его проекции на оси координат удобнее представлять его в виде геометрической суммы двух составляющих, направленных по касательной к траектории и по нормали к траетории. Первая составляющая W_ - тангенциальное или касательное ускорение характеризует быстроту изменения только величины скорости, вторая W_n – наз. центростремительным или нормальным ускорением характеризует быстроту изменения скорости только по направлению.

W =W_ +W_n. W_= dV/dt; W_n=V²/r, а

W W_² + W_n² =  (dV/dt)² + (V²/r)²

3. 3.СИЛЫ. МАССА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Взаимодействие тел характеризуется физической величиной, которая называется силой. Сила является количественной мерой действия тел друг на друга, в результате которых они изменяют состояние своего движения.

Изменение состояния покоя или движения какого-либо тела всегда вызывается действием на него сил, исходящих от определенных других тел. Примеры.

Если бы на данное тело не действовали никакие силы со стороны других тел, то оно или находилось бы в неизменном состоянии покоя, или двигалось прямолинейно и равномерно. Состояние равномерного прямолинейного движения считается неизменным состоянием движения, поскольку это единственный вид движения с постоянной по величине и направлению скоростью и W = 0. Состояние покоя можно считать частным случаем равномерного прямолинейного движения, скорость которого равна 0.

Силы, как количественная мера взаимодействия тел, характ. не только своей величиной, но и направлением действия и точкой прило- жения, т.е. сила – вектор.

В механике рассматривают 1)гравитационные силы (силы тяжести), 2)силы упругие, которые действуют как между соприкасающимися телами, так и между соседними слоями одного и того же тела. Упругие силы возникают в результате деформации тел и зависят от величины деформаций, 3) силы трения, действующие на соприкасающиеся поверхностные слои тел и зависящие как от состояния поверхностей соприкосновения, так и от относительной скорости тел.

Если на материальную точку действуют две силы F₁ и F₂ то их действие эквивалентно действию равнодействующей силе R = F₁ + F₂

Рис.

Если к материальной точке приложены F₁, F₂, …F_n сил, то их складывают по такому же принципу.

R = F_i,

или можно построить силовой многоугольник.

рис.

Измерение сил производят путем количественного сравнения конкретных результатов их действия. Опыт показывает, что под действием одной и той же силы различные тела испытывают неодинаковые ускорения, т.е. изменение их инерциального движения различно. Мы говорим, что различна инерция этих тел. Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса.

Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать строгим и исчерпывающим, т.к. при больших скоростях масса одного и того же тела может изменяться при движении. Но будем пока пользоваться определением Ньютона.

Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства.

Величину массы определяют по различным ее проявлениям (инерции, тяготению) путем сравнения с массой какого-либо эталонного тела, произвольно принятого за единицу. Единицей массы в системе СИ является эталон 1 кг.

Изучая действие сил на движение тел, был сформулирован первый закон Ньютона (Галилей): точечное тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку действие внешних сил не вынудит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять скорость неизменной (в частности равной нулю) при отсутствии действующих на них сил называется инертностью. Поэтому равномерное прямолинейное движение тел часто называют движением по инерции, а 1-ый зак. Ньютона - законом инерции.

Установленный Ньютоном второй закон механики указывает, каким будет характер движения точечного тела при действии на него заданных сил.

При действии сил движение тела перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется ускорение W. Направление его совпадает с направлением F.

W  F при m = const. (1)

При действии одной и той же силы F на разные тела W этих тел оказываются различными, причем

W  1/m (2)

при F = const. Объединяя (1) и (2) получаем, что

W  F/m, или F  mW

F = kmW, но единицу силы выбирают так, что к = 1 и тогда

F = mW = mdV/dt = d/dt (mV) = dP/dt, (3)

где Р – импульс (количество движения) материальной точки.

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

1 Н – сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение, равное 1 м/с².

Сила веса 1кГ, тогда 1Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н.

До сих пор мы рассматривали влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом Ньютона, сформулированным для случая взаимодействия 2-х мат. точек: Если материальная точка m₂ испытывает со стороны матер. точки m₁ силу равную F₁₂, то m₁ испытывает со стороны m₂ силу F₂₁, равную по величине и противоположную по направлению F₁₂.

F₂₁ = - F₁₂

Рис.

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁ и m₂ .

В случае произвольно большого множества точек взаимодействие в такой системе согласно 3-му зак. сводится к парному взаимодействию между любыми двумя точками. Т.е. например, сила, испытываемая точкой m₃ системы, складывается из сил, действующих со стороны точек m₁, m₂, m₄, m₅ и т.д.

F₃ = F₁₃ + F₂₃ +F₄₃ +F₅₃ + …

Часто употребляется такая формулмровка 3-го закона; «действие равно противодействию» – это неполная формулировка, т.к. в ней не подчеркивается важное обстоятельство: силы действия и противодействия приложены всегда к различным телам и поэтому никогда не уравновешивают друг друга.

Пример: когда человек идет по земле, то сила, с которой он отталкивает землю назад, равна по величине и направлена обратно той силе, с которой земля отталкивает человека вперед. При равенстве этих сил, однако, согласно 2-го зак. Ньютона, возникающие ускорения обратно пропорциональны массам, и землю благодаря ее очень большой по сравнению с человеком массе можно считать практически неподвижной.

СИЛЫ ПРИ КРИВОЛИН

4. ДВИЖЕНИИ.

Мы рассмотрели, что при криволинейном движении (и движении по окружности) тела вектор ускорения

W = W_ +W_n | m.

Но согласно 2-му зак. Ньютона, вектор ускорения тела W направлен параллельно действующей силе F и равен F/m. Следовательно, на тело, движущееся по криволинейному пути, действует сила, направленная под тем же углом к траектории, что и вектор ускорения этого тела.

Поскольку из равенства векторов следует и равенство их проекций на любое направление, то и действующая сила F также может быть представлена в виде суммы F_ +F_n, направленных параллельно соответствующим составляющим ускорения, т.е. по касательной и нормали к траектории тела:

F_ = mW_ = mdV/dt; F_n = mW_n = mV²/R.

Касательная составляющая силы F_ направлена по касательной и определяет изменение скорости тела только по величине. Сила F_n, определяющая изменение скорости тела по направлению, называется центростремительной силой.

Рис.

F = m(dV/dt)² + (V²/R)² ; tg = F_n/F_ = V²/(R dV/dt);  < 90⁰ – ускоренное движение,  > 90⁰ – движение замедленное,  = 90⁰ , тогда tg = tg90⁰ = , что возможно при dV/dt = 0. Значит, в этом случае величина V = const, при этом также F_ = dV/dt = 0, поэтому результирующая сила, действующая на тело, по величине окажется равной

F = F_² + F_n² = F_n = mV²/R,

т.е. будет являться центростремительной силой, изменяющей лишь направление скорости, но не ее величину. И наоборот, если при криволинейном движении тела величина его скорости не изменяется с течением времени и dV/dt =0, тогда, поскольку tg = , действующая на него сила будет направлена V.

В частности, если точечное тело равномерно движется по окружности радиуса R, то dV/dt = 0  F_ = m dV/dt = 0 и F = F_n = mV²/R не будет меняться со временем, т.к. R = const и V = const.

Если вращающееся тело удерживается на окружности вращения другим телом, называемым связью, и при этом для движения существенны лишь силы взаимодействия между ними, то центростремительная сила, направленная к центру вращения, будет приложена к самому вращающемуся телу со стороны связи. Согласно 3-му зак. Ньютона, вращающееся тело должно действовать на связь с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Эта сила, действующая на связь со стороны вращающегося тела, по величине равна mV²/R и направленая вдоль радиуса от центра вращения, называется центробежной.

ПРИМЕР:

Вращение шарика, привязанного к нити.

Движение автомобиля

Полет самолета во время «петли»

Движение поезда на повороте.

5. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.

Все физические тела испытывают действие сил взаимного тяготения. Основной закон, определяющий силы тяготения, был сформулирован Ньютоном и носит название закона тяготения Ньютона. Закон гласит: между любыми двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, прямо пропорциональные произведению масс этих точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними:

Рис.

F₁₂ = f( m₁m₂/R²)R₁₂/R , R = |R₁₂| (1)

R₁₂ – радиус вектор, проведенный из точки 1 в точку с m₂.

Из (1) имеем М_земли = 6.10²⁴ кг

Коэффициент f называется гравитационной постоянной (постоянной тяготения). Он численно равен силе взаимного притяжения между двумя материальными точками одинаковой единичной массы, которые находятся друг от друга на расстоянии, равном единице длины. Гравитационная постоянная определяется опытным путем, f = (6,67 -+0,01).10^-11Н.м²/кг², (Кавендыш в 1798 г.).

При определении силы взаимного тяготения между двумя телами, которые нельзя считать точками, поступают следующим образом. Разбивают все тело на такие малые частицы, которые можно принять за точки, выбирают во втором теле одну частцу и определяют равнодействующую сил притяжения со стороны всех частиц первого тела. Затем проделывают то же самое для всех остальных частиц второго тела и берут сумму; эта сумма и представляет силу действия первого тела на второе. По третьему закону Ньютона определяют силу, действующую на первое тело.

Вычисления, проделанные для шаров из однородного вещества, показывают, что результирующая сила тяготения приложена в центре каждого щара и равна fm₁m₂/R² (R – расстояние между центрами). Т.о закон тяготения в форме (1) верен как для материальных точек, так и для шаров из однородного материала.

Из закона всемирного тяготения можно определить массу Земли. Т.к. сила тяжести mg, действующая на тело массы m, находящееся на поверхности Земли, является силой гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, то

Mg = fmM_з/R², откуда М_з = gR²/f. М_з = 6.10²⁴ кг.

Далее, сила тяготения, действующая со стороны Солнца массы М₀ на Землю массы М_з, является центростремительной силой, т.к. Земля приблизительно равномерно вращается вокруг Солнца по окружности радиуса R, равного расстоянию от Земли до Солца. Тогда

М_зV²/R = fM₃M₀/R². (2)

Учитывая, что орбитальная скорость Земли V равна 2R/Т, находим массу Солнца:

M₀ = V²R/f = 4²R³/fT²,

где Т – период обращения Земли вокруг Солнца.

По этой же формуле может быть найдена и масса планеты М_п, если вокруг нее на расстоянии R_п обращается спутник m_с с периодом Т_с.

Расстояние от планеты до спутника также находится из формулы (2) или 4²R/T² = fM₀/R², откуда искомое расстояние

R =  fM₀T²/4²,

где Т – период обращения планеты вокруг Солнца.

Напомню, что весом тела называют силу, с которой это тело действует вследствие тяготения к Земле на опору (или на подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется только тогда, когда тело движется с ускорением, отличным от g , т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Вес тела зависит от высоты его положения над уровнем моря и географической широты местности.

Так, если на уровне моря сила тяготения, действующая на тело массы m со стороны Земли, равна

F₀ = fmM₃/R² (здесь R = 6370 км –радиус Земли),

то на высоте h над уровнем моря

F = fmM₃/(R + h)².

Взяв отношение этих сил, получим

F₀/F = (R + h)²/R²  1 + 2h/R. Член h²/R² – мал по ср. с другими и им пренебрегаем. Тогда

F = F₀/(1 + 2h/R) = F₀ ( 1 + 2h/R)^-1 = F₀( 1 – 2h/R),

Т.е. с возрастанием высоты тела h над уровнем моря действующая на него сила тяготения, проявляющаяся как вес тела, уменьшается.

Наличие вблизи взвешиваемых тел гор, участков земной коры с аномальной плотностью и т.п. также влияет на величину их веса. На этом основан один из методов определения плотности горных пород, разведки полезных ископаемых и т.д. (гравиметрический метод).

Поскольку расстояние от центра Земли до полюсов меньше, чем до экватора, то вес того или иного тела на полюсе будет больше, чем на экваторе. Этим отчасти обусловливается зависимость веса тел от геогр. широты местности. Но основной причиной, обусловливающей зависимость веса тел от широты местности, является суточное вращение Земли вокруг своей оси.

На тело, лежащее на поверхности Земли и вращающееся вместе с ней, будет действовать центростремительная сила F = m²Rcos, которая зависит от широты  и которая изменяет вес тела.  и R угловая скорость вращения и радиус Земли. Вес тела на широте  равен

P = mg(1 - ²R cos² )

g

При перемещении тела от полюса к экватору вес его будет монотонно уменьшаться по величине от значения mg на полюсе до значения mg(1 - ²R/g) на экваторе. Однако и это изменение веса тела с изменением широты местности невелико, т.к. величина ²R/g равна лишь 1/289.

Направление силы веса тела Р, отклоняется от направления на центр Земли на угол , величина которого зависит от широты местности . Сила Р будет направлена к центру Земли только на полюсе и на экваторе. Максимальное отклонение направления веса тела от направления на центр Земли будет на широте  = 45⁰.

Итак, сила тяготения mg = fmM/R² (отсюда g = fM/R²), действующая на тело массы m со стороны Земли и зависящая по величине только от расстояния тела до центра Земли, всегда направлена к центру Земли, не равна весу этого тела, даже если оно покоится относительно Земли.

Движение тела, происходящее под действием только его силы тяжести, наз. свободным падением. Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g = P/m. Оно одинаково для всех тел и зависит только от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для расчетов, равно 9,80665 м/с².

Закон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения от масс взаимодей­ствующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяго­тения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е. F = mg. Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения.

Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отноше­нию к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38).

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.

6.Нормальное гравитационное поле и его аномалии.

Гравитационное поле Земли имеет сложную структуру, обусловленную неоднородностью вещества земной коры и мантии. Поэтому его принято разделять на две части: нормальное гравитационное поле и остаточное аномальное поле.

Земной эллипсоид наилучшим образом аппроксимирует основную уровенную поверхность Земли – геоид. Этот эллипсоид наз. уровенным эллипсоидом (нормальной Землей). По его параметрам определяют нормальную силу тяжести g₀ , нормальный потенциал и другие характеристики нормального гравитационного поля.

Реальные значения силы тяжести g, наблюдаемые в различных частях земной поверхности, отличаются от нормального ее значения g_0. Разность g_a =g – g₀ в пункте наблюдений называют аномалией силы тяжести g_a (гравитационной аномалией). Величина g_a обусловлена залеганием на глубине тяжелых или легких горных пород и руд. Аномалии бывают положительными (“избыток масс”), обычно присущими глубоководным впадинам океанов, и отрицательными – в высокогорных областях материков и в районах залегания легких горных пород и руд.

Обычно на поверхности Земли значение g_a составляет несколько десятых долей 1см/с², достигая иногда и целых единиц в горах и глубоководных впадинах. Так, аномалии силы тяжести в Марианской впадине на глубине 8740 м g_a = - 0,244 см/с², а в свободном воздухе г. Мауна-Кеа (о.Гавайи) для высоты z = 4214 м составляет +0,669 см/с². Обычно значения g_a отражают изменения гравитационного поля при переходе от одного типа земной коры к другому; они не коррелируют с положением материков и океанов; знак g_a не меняется на протяжении тысяч км. Чаще всего наблюдается неравенство g g_a над морскими и океаническими пространствами, а над материками g g_a . Подобные соотношения между реальными (g) и теоретическими (g₀) значениями ускорения свободного падения объясняются тем, что сравнительно малая масса воды океанов и морей компенсируется массой горных пород большой плотности (базальт, перидотит, имеющих плотность около 3,310³ кг/м³). На материках под горными хребтами залегают, видимо, породы малой плотности. Все это означает, что на изменение g влияет геологическое строение района, т.е. неравномерное распределение плотностей масс внутри Земли.

Распределение аномалий силы тяжести по всей Земле дается на специальных картах. Наиболее мощная аномалия расположена в северной части Индийского океана вблизи полуострова Индостан. Здесь же располагается минимум геоида.

Ускорение силы тяжести обычно считают направленным к центру Земли по радиусу. Однако над местами сосредоточения аномальных масс вещества в недрах планеты наблюдается отклонение величины g от указанного направления. Для их выявления измеряют вертикальную и горизонтальную составляющие вектора g по меньшей мере в двух точках, а его направление определяют по изменению силы тяжести и отклонению отвеса. Точка пересечения таких векторов является центром возмущающих масс. Если тело имеет сферическую форму, то его центр располагается точно в точке пересечения векторов, а при сплюснутой форме – выше точки.

Такие исследования важны прежде всего в морской съемке, поскольку основные аномалии геоида располагаются в толще океана. Исследователи считают, что массы, вызывающие океанические аномалии, обусловлены неоднородностями, расположенными на глубинах 400 – 900 км. Так, отрицательная аномалия Индийского океана связана с разуплотнением масс вещества мантии, обусловленного перемещением полуострова Индостан в процессе дрейфа материков. Продвигаясь на север, он оставил под собой вещество, менее плотное, по сравнению с составляющим соседние регионы. В результате и возникла здесь самая мощная аномалия.

При продвижении в глубь Земли сила тяжести изменяется и в центре Земли уменьшается до нуля. Изменение силы притяжения с глубиной z можно описать формулой

F = 0,3086z – 0,0838z,

из которой следует, изменение силы притяжения под земной поверхностью материков происходит пропорционально не только глубине, но и плотности среды . При этом в слоях небольшой плотности (  2,2 г/см³) первый член этого выражения больше второго, и потому при углублении примерно до 3000 км (граница мантии и железистого ядра) сила тяжести возрастает (g достигает максимума =10,68 м/с²). Но по мере дальнейшего роста z плотность ядра  плавно увеличивается и вследствие этого уменьшается сила тяжести. В центре земного шара сила притяжения по всем радиусам одинакова и g = 0.

7. Гравитационные явления и процессы.

Под гравитационным явлением понимается перемещение горных пород под влиянием силы тяжести с последующим их разрушением и накоплением в виде рыхлых грубообломочных отложений.

Гравитационные явления разнообразны, и их различие заключается в неодинаковой роли силы тяжести и воды (аквальный фактор) в их образовании. По этому признаку на суше выделяют собственно гравитационные, гравитационно-аквальные и аквально-гравитационные явления. В морях, реках и озерах гравитационные явления носят название гравитационно-субаквальных.

К собственно гравитационным явлениям относят обвалы, камнепады и снежные лавины. Они происходят полностью под действием силы тяжести, главным образом в горах с обрывистыми склонами. Описать обвалы и лавины!! В итоге образуются так наз. отвальные скопления в форме вытянутых холмов с неровной, бугристой поверхностью.

Обвалы могут совершаться также в подземных пустотах, образуя на земной поверхности различные провалы, колодцы и воронкообразные углубления.

Наибольшее распространение на земной поверхности имеют гравитационно-аквальные явления. К их числу относят оползни, которые присущи горным и равнинным областям. В отличие от обвалов при оползнях отделившаяся по трещинам масса горных пород не летит вниз и не падает, а скользит по склону. Оползни развиваются на любых склонах гор, где существует переслаивание различных пород с глинистыми. В равнинной местности оползни приурочены к побережьям рек, озер и морей и характеризуются большим разнообразием форм и масштабов проявления.

Оползневое тело обычно движется по глинистым породам, представляющим собой водоупор для водоносного горизонта. Влага этого горизонта нарушает сцепление между составляющими частицами вышележащих пород и глинистым фундаментом и потому способствует развитию оползневых процессов. Это тело может иметь различную форму и размеры.

К аквально-гравитационным явлениям относят те, в образовании которых основную роль играет вода. Это оползневые потоки, оплывы и сели, наблюдающиеся в горных районах. Их образование происходит во время активной геологической деятельности поверхностных и подземных вод, особенно при снеготаянии и ливневых жидких осадках. Вода, попадая в горные породы, уменьшает сцепление между составляющими их частицами и даже зернами. В результате породы приобретают текучую консистенцию, они разжижаются и под действием силы тяжести начинают сползать или даже стекать вниз по склону.

Четвёртый тип гравитационных явлений – гравитационно-субаквальные- происходят на подводных склонах рек, озер и морей. Здесь оползни возникают в основном под действием силы тяжести на относительно крутых склонах. Под влиянием своей массы подводный осадочный слой в виде илистых образований начинает ползти. Этот процесс усиливается массой обрушающихся берегов, создающей дополнительную нагрузку на оползающее тело подводного склона. Морские, озерные и речные оползни изучены еще недостаточно, хотя практическое значение их исследований велико.