Задание 8. Определить область сходимости степенных рядов.
|
|
|
|
|
|
;
.
Решение варианта 0.
Пример 0.1. Находим радиус сходимости по формуле:
.
Интервалом
сходимости данного ряда будет множество
.
Исследуем теперь поведение его в
граничных точках. При
,
как и при
,
ряд будет расходиться, так как для него
не выполняется необходимое условие
сходимости:
при росте n.
Поэтому в данном случае область сходимости
совпадает с интервалом сходимости.
Пример 0.2. В данном случае удобнее другая формула:
.
Интервал
сходимости определяется неравенством
,
то есть
.
В граничных точках
и
ряд будет расходиться в силу невыполнения
необходимого условия стремления модуля
n–го
члена ряда к нулю:
.
Следовательно, область сходимости совпадает с интервалом сходимости ряда.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.
|
|
|
|
|
|
;
.