Добавил:

Karsky Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

matem_lab-2.doc

Скачиваний:

100

Добавлен:

21.04.2017

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Задание 10. Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

0. – ytgx = 2tgx.

Решение варианта 0.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать общее решение уравнения в виде y(x) = u(x)v(x), где u(x) и v(x) – подлежащие определению пока неизвестные функции. Подставляя это выражение в уравнение, получим ,или .Выберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Имеем:

, ,,

(Из всей совокупности решений этого уравнения выбрано в качестве функции v одно конкретное). Далее получаем: ,,откуда u = – 2cosx + C. Таким образом, общее решение имеет вид:

+ y = 5x.	+ y – x = 5.
x – y = x³.	–4y = e²^x.
x – 4y = 2 x² – 3x.	x= x⁴ – 2y.
x²= 2xy + 3.	+ y = e^x.
+ y = e^xsinx.	x + y = sinx.
x – y =x.	x + y =lnx + 1.
x – 2y = 2x⁴.	+ ytgx = (cosx)^–1.
–= x².	–= (x + 1)³.
+ 2y = e³^x.	+ y = cosx.
+ x²y = x².	x²+ xy + 1 = 0.
+ y = 1.	–ytgx = .
x – xy = e^x .	–2y = e^–x.
= 2y + e^x – x.

Задание 11. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка.

0. 2y += 0.

Решение варианта 0.

Полагая

= p, ,

получаем уравнение с разделяющимися переменными 2yp³ + = 0, откуда

2yp² + = 0, = –2ydy, =y² + C₁, p = .

Следовательно,

, (y² + C₁)dy = dx.

Интегрируя последнее равенство, находим

, .

= 2y.	= e^y.
= 2 – y.	2= e²^y.
x= 1 + x².	2= 3y².
x– = 0.	cos²x =1.
(x² + 1)– 2x = 0.	= 4cos2x.
+ = 0.	= .
(x² + 1)=3.	x– = x² e^x.
2y= 1 + .	x²=4.
(2 + x) = 1.	x(+1) + = 0.
(1 – x²)–x= 0.	y– = 0.
xlnx = .	x+ x = 1.
y³=1.	y+ = 0.
tgy = 2.

Задание 12. Решить следующие однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

–8 + 25y = 0;

–7 + 12y = – 48sin3x.

Решение варианта 0.

Пример 0.1. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни: , поэтому общее решение имеет вид: y = (C₁ cos3x + C₂ sin3x).

Пример 0.2. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения – 7 + 12y =0.. Характеристическое уравнение – –+ 12 = 0 имеет различные действительные корни:, поэтому общее решение однородного уравнения определяется формулой. Частное исходного уравнения будем искать в видеy₁ = Acos3x + Bsin3x. Подставим y_1,= –3Asin3x + 3Bcos3x, = = –9Acos3x – 9Bsin3x в уравнение и получим:

–9Acos3x – 9Bsin3x – 7(–3Asin3x + 3Bcos3x) +

+12(Acos3x + Bsin3x) = – 48sin3x,

или

(3A – 21B)cos3x + (21A + 3B)sin3x = – 48sin3x.

Последнее равенство должно выполнятся для всех x, и это возможно, когда 3A – 21B = 0, 21A + 3B = –48, A = –,B = . Следовательно,y₁ = –cos3x + sin3x. Искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид: y = –(7cos3x + sin3x).