ИДЗ 2.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 2.1 – Вариант 0
1. Даны векторы a = αm+βn и b = γm+δn, где |m| = k; |n| = l; (m,^n) = φ. Найти а) (λa+μb)∙(νa+τb); б) прв(νa+τb); в) cos(a,^τb)
1.0 α = 3, β = –2, γ = 4, δ = 5, |
|
k = 3, l = 2, φ = 5π/3, λ = 3, μ = 2, ν = 1, τ = 1 |
||||||||
|
m |
|
3 , |
|
n |
|
2 |
|
|
5 / 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, m, n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 3m 2n |
b 4m 5n |
а) 3a 2b a b
Подставляем начальные данные, вычисляем
3a 3 3m 2n 9m 6n
2b 2 4m 5n 8m 10n
3a 2b 9m 8m 6n 10n 17m 4n
a3m 2n
b4m 5n
a b 3m 2n 4m 5n 7m 3n
В итоге:
3a 2b a b 17m 4n 7m 3n 119m |
2 |
79 |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
12n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos m, n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
119 32 |
79 3 2 0,5 12 22 |
1071 237 48 1356 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) пр b a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пусть |
c a b 7m 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
пр |
|
c |
c |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найдем значения c b и |
b |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
c b 7m |
3n 4m |
5n 28m |
2 |
47 |
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
28 |
3 |
2 |
47 |
3 2 |
0,5 15 2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos m, n 15n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
252 141 60 453 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b |
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
4m 5n |
2 |
16m |
2 |
40 |
|
m |
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
16 |
3 |
2 |
40 |
3 2 0,5 25 2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos m, n 25n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
144 120 100 |
364 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
пр |
|
|
a b |
453 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
364 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сos a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 3m 2n |
|
|
|
|
|
b 4m 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как
d a 3m 2n e b 4m 5n
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда сos d, e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим d e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d e 3m 2n |
4m 5n 12m |
2 |
|
7 |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
10n |
2 |
12 3 |
2 |
7 3 2 |
0,5 10 2 |
2 |
108 21 |
40 89 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos m, n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
9m |
12 |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
9 3 |
12 3 2 0,5 4 |
2 |
|
|
81 36 16 |
|
61 7,81 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3m 2n |
|
|
|
|
cos m, n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
|
|
4m 5n |
2 |
|
|
|
16m |
2 |
40 |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
16 |
3 |
2 |
40 3 2 0,5 |
25 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos m, n |
25n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 120 100 364 19,08
Врезультате имеем:
|
|
|
|
89 |
|
89 |
0,597 |
|||
сos a, b |
|
|
|
|
||||||
7,81 |
19,08 |
149 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти: а) модуль вектора а; б) скалярное произведение векторов а и b; в) проекцию вектора c на вектор d; г) координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α : β
2.0 A(5, 4, 4), B(2, 4, 6), C(5, –2, 6) a = –2 BC + 4 BA , b =c= CA , d = BA , l=BC, α = 3, β = 1
а) модуль вектора а
Последовательно находим
BA 5 2; 4 4; 4 6 3; 0; 2 ; 4BA 12; 0; 8
BC 5 2; 2 4; 6 6 3; 6; 0
2BC 6; 12; 0
2BC 4BA 6 12; 12 0; 0 ( 8) 6; 12; 8
Модуль вектора определяем выражением
a x12 y12 z12
Тогда Модуль вектора а:
|
|
|
|
|
|
|
62 122 ( 8)2 |
|
|
|
|
a |
|
2BC 4BA |
|
|
36 144 64 244 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) скалярное произведение векторов а и b
a2BC 4BA 6; 12; 8
bCA 0; 6; 2
Скалярное произведение двух векторов находим по формуле
a b x1x2 y1y2 z1z2
Тогда
a b 6 0 12 6 ( 8) ( 2) 0 72 16 88
в) проекцию вектора c на вектор d;
Так как пр d c |
c d |
c |
|
0; 6; 2 |
|||
CA |
|||||||
|
d |
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d BA 3; 0; 2
c d 0 3 6 0 ( 2) ( 2) 0 4 4 d 32 02 ( 2)2 9 4 13
|
|
|
|
|
4 |
|
||
пр |
|
CA |
||||||
|
|
|
|
|||||
BA |
|
|
|
|||||
13 |
||||||||
|
|
|
|
|
г) координаты точки М, делящей отрезок l в отношении 3 :1
B(2, 4, 6), C(5, –2, 6)
Имеем: 3 |
|
r |
|
rB rC |
. Следовательно, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x M |
|
2 3 5 |
|
|
17 |
|
|
|
yM |
|
4 3 ( 2) |
|
2 |
|
1 |
||||
|
1 3 |
4 |
|
|
|
|
4 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|||||||
zM |
6 3 6 |
|
24 |
6 |
|
|
17 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
; |
|
|
; 6 |
|
|
|
|||||
|
1 3 |
4 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3.Доказать, что векторы a,b,c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
3.0a(2, –1, 2); b(1, 1, 2); c(4, 1, 4); d(8, 11, 22)
Вычисляем по правилу треугольника:
a |
11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11a 22a 33 |
a12a 23a 31 a 21a 32a13 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11 |
a |
21 |
a 22 |
a 23 |
|
||
|
|
a 32 |
a 33 |
|
|
|
a 31 |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
||
abc |
1 |
1 |
2 |
2 1 4 ( 1) 2 4 2 1 1 2 1 4 2 2 1 ( 1) 1 4 8 8 2 8 4 4 6 0 |
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, векторы a,b,c образуют базис, и вектор d линейно выражается через базисные векторы: d a b c
или в координатной форме
2 4 811 2 2 4 22
Решаем полученную систему по формулам Крамера. Находим:
|
2 |
1 |
4 |
|
|
1 1 |
1 |
8 2 8 8 4 4 6 |
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11 |
1 |
1 |
|
32 22 88 88 16 44 6 |
||||||||||
|
|
|
|
22 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
11 |
1 |
88 16 88 88 44 32 84 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
22 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
11 |
44 22 16 16 44 22 12 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
; |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
1; |
|
84 |
14; |
|
12 |
2 |
|||||||
6 |
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||
Поэтому d 1; |
14; 2 a 14b 2c |