МДЗ №2

Оформил студент группы МП-21

Яковлев Евгений Сергеевич

№ 1 (18.25)

Доказать тождество: ( + BC)(+ AC)( + AB)= ABC +

Так как событие отождествляется с множеством, то над событиями А, В и С можно совершать операции, которые можно выполнять над множествами.

Решение:

1. Перемножаем первые две скобки и получаем:

( + C + C + ABCC)(+AB)

По закону дополнения:

По закону идемпотентности: CC=C

Получаем: ( + ABC)(+AB)

2. Перемножим оставшиеся скобки:

+ AB + ABC + ABCAB Используя законы из 1-го пункта:

По закону дополнения второе и третье слагаемое приравнивается к 0, а по закону идемпотентности, четвертое равно ABC.

Следовательно, что равенство ( + BC)(+ AC)( + AB)= ABC + тождественно. Что и требовалось доказать.

№ 2 (18.40)

Условие:

Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке ниже

Событие A_k = {элемент с номером k вышел из строя}, где k = 1, 2, 3, 4, 5,

событие B = {разрыв цепи}.

Выразить событие B в алгебре событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅.

Решение:

Разрыв цепи означает, что между точками S и F не будет тока. Значит, в каждой ветви цепи должен выйти из строя один из элементов, чтобы ток не мог пройти.

1. Произойдет разрыв верхней ветви цеп, если выйдет из строя 1 или 2 элемент, либо оба одновременно.

2. Точно также и произойдет разрыв нижней ветви, если выйдет из строя 4 или 5, или оба элемента одновременно.

3. В центральной ветви 3 элемент, для выполнения условия разрыва цепи, обязательно должен выйти из строя.

Получим, что для выполнения события В необходимо, чтобы одновременно выполнялись несколько событий:

В = { {вышел из строя 1 или 2 эл.} & {вышел из строя эл.} & {вышел из строя 4 ли 5 эл.} }

или

B = A₃(A₁ + A₂)(A₄ + A₅)

Ответ: B = A3(A1 + A2)(A4 + A5)

№ 3 (18.55)

Условие:

Доказать справедливость следующего следствия из определения вероятности событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) (формула сложения вероятностей)

Решение:

P(A) – числовая функция, вероятность события А.

Так как событие есть множество, то вероятность является также функцией множества. Известно, что (А + В) = А + , это легко доказать нарисовав диаграммы Эйлера.

1. Обратим внимание на то что: . В этом не трудно убедиться, изобразив тождество в виде диаграмм Эйлера.

2. Таким образом получаем P(A + B) = P(A) + P(), т.к. события А и В несовместны.

3. Из тождества B = АВ + следует Р(В) = Р(АВ) + Р() в силу несовместности событий. Что также несложно доказать нарисовав диаграммы Эйлера.

Отсюда Р() =Р(В) - Р(АВ).

4. Подставив п.3 в п.2 получим P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Что и требовалось доказать.