Пример 2. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.

 Рассмотрим электрическое поле, создаваемое заряженной сферической поверхностью (рис. 2.5). Пусть заряд равномерно распределен по поверхности сферы с поверхностной плотностью . Из условия задачи очевидно, что линии электрического смещения  могут быть только перпендикулярны заряженной поверхности и расходиться радиально от центра. Поэтому в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать сферу с радиусом .

Исследуем электрическое поле в точках А, В и С (рис. 2.5):

 

а) рассмотрим точки электрического поля внутри шара. Выберем произвольную точку А и проведем через нее сферическую поверхность с радиусом . Так как внутри выбранной поверхности заряды отсутствуют, то теорема Остроградского–Гаусса принимает вид   .         (2.13) Равенство (2.13) выполняется при условии, что          .                (2.14) Следовательно, в любой точке, расположенной внутри заряженной сферической поверхности, вектор электрического смещения равен нулю.

Используя условия:    и  ,  из формулы (2.14) следует

                                                  .                                             (2.15)

Формула (2.15) указывает, что все точки внутри сферы имеют  одинаковые потенциалы;

б) рассмотрим точки поля на поверхности сферы. Выберем сферическую поверхность с радиусом  и запишем теорему Остроградского–Гаусса

 ,

где   – заряд, распределенный по поверхности сферы.

Из условия симметрии задачи очевидно, что  для всех точек сферической поверхности. Интегрирование по замкнутой поверхности радиусом  дает

 .

 Так как   , то имеем   или

  ;                                     (2.16)

 в) рассмотрим точки поля за пределами сферической поверхности. Выберем произвольную точку С  и проведем через нее сферическую поверхность с радиусом . Для выбранной поверхности запишем теорему Остроградского–Гаусса

  ,

 где  ;  – заряд на поверхности сферы.

Из условия симметрии задачи опять очевидно, что  для всех точек выбранной поверхности. После интегрирования по замкнутой поверхности радиусом   получаем

 .

 После упрощения имеем

        или      .                 (2.17)

Используя формулу (2.17) и условия    и  ,  получаем

 

,  откуда  .

 Проинтегрируем полученное выражение

 ,

принимая  , получаем

                                          .                                    (2.18)

Потенциал поверхности сферы определим из (2.18), используя условие ,

.                                          (2.19)

Графики зависимости  и j от расстояния до центра заряженной сферической поверхности представлены на рис. 2.6 и 2.7.

 

                          Рис. 2.6. Зависимость  электрического            Рис. 2.7. Зависимость  электрического поля

                                поля заряженной сферы                                заряженной сферы

Пример 3. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Имеется безграничная плоскость, заряженная равномерно с поверхностной плотностью . Из симметрии задачи очевидно, что линии смещения могут быть направлены только перпендикулярно плоскости и равномерно распределены по поверхности. При записи теоремы Остроградского–Гаусса в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать прямой цилиндр, перпендикулярный заряженной плоскости, ограниченный двумя плоскими основаниями площадью , расположенными по обеим сторонам заряженной плоскости (рис. 2.8).

Полный поток электрического смещения через выбранную замкнутую поверхность

 

.

 

Так как образующие цилиндра параллельны линиям смещения (), то поток через боковую поверхность будет равен нулю. Поток через основания цилиндра равен  () и является полным потоком через замкнутую поверхность. Применяя теорему Остроградского–Гаусса, имеем   , откуда .            (2.20)

Напряженность поля равномерно заряженной плоскости  

 .                                            (2.21)

 

Из (2.21) вытекает, что безграничная заряженная плоскость создает однородное электрическое поле.

Потенциалы поля изменяются только в направлении, перпендикулярном плоскости, и разность потенциалов между точками в этом направлении определится как

       .                                        (2.22)

Пример 4. Поле равномерно заряженного цилиндра (нити). Рассмотрим безграничный цилиндр (нить), равномерно заряженный по длине с линейной плотностью заряда  , где d – длина цилиндра.

Из условия симметрии линии смещения будут радиальными прямыми, перпендикулярными к поверхности цилиндра. В этом случае в качестве поверхности для вычисления потока удобно выбрать цилиндрическую поверхность S показанную на рис. 2.9.

Так как поток через основание выбранного цилиндра равен нулю (), а боковая поверхность перпендикулярна к линиям смещения (), то полный поток через замкнутую поверхность

 

.

 

Применяя теорему Остроградского–Гаусса, имеем   .   Отсюда получаем, что электрическое смещение поля в точках, отстоящих на расстоянии  от оси цилиндра,                                .          (2.23)   С учетом выражения (2.2) напряженность электрического поля, созданного заряженным цилиндром (нитью), составит                           .         (2.24)

 

Так как ,  то с учетом (2.24)  разность потенциалов между точками, удаленными от оси цилиндра на расстояние , определится по формуле

 

                                                   (2.25)

 

 

.

 

Выражения (2.24) и (2.25) показывают, что электрическое поле, создаваемое заряженным цилиндром (нитью), имеет цилиндрическую симметрию.