Дифференцирующие звенья

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризует­ся уравнением

. (25) (87)

Следовательно, в таком звене выходная величина про­порциональна скорости изменения входной величины. Та­кое звено можно представить в виде устройства, изобра­женного на рисунке 13, а, где выходное сопротивление рав­но нулю.

При изменении входной величины переходный про­цесс в подобном звене теоретически происходит мгновен­но. При подаче на вход толчкообразного возмущения на выходе получается мгновенный выходной импульс, теоре­тически имеющий бесконечно большую амплитуду, соот­ветствующую бесконечно большой скорости изменения входной величины в момент подачи толчка.

Переходный процесс при толчкообразном входе для идеального дифференцирующего звена изображен на рисунке 13, б.

Рисунок 13 - Схема идеального дифференцирующего звена (а) и переходный процесс, в нем происходящий (б)

Передаточная функция такого звена может быть по­лучена из уравнения (25) и имеет вид:

. (26)

Соответственно частотная характеристика идеального дифференцирующего звена может быть записана так:

, (27)

откуда модуль вектора K(jω) равен:

, (28)

а фазовый угол для всех частот

. (29)

Амплитудно-фазовая характеристика для идеального дифференцирующего звена, построенная по уравнению (27), совпадает с положительной частью мнимой оси и приведена на рисунке 14.

Идеальное дифференцирующее звено создает опере­жение выходной величины от входной на угол +π/2 при всех частотах. Амплитуда выходной величины тем больше, чем больше частота. Однако практически осуществить идеальное звено, строго удовлетворяю­щее уравнению (25), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифферен­цирующее действие более или менее приближенно. Та­кие звенья называют реальными дифференцирующими звеньями.

Их уравнения могут быть записаны в следующей форме:

. (30)

Из уравнения (30) видно, что при Т→0, но при конечном kТ оно переходит в уравнение, аналогичное уравнению идеального дифференцирующего звена, и под­ходит к нему тем больше, чем меньше Т. Но тогда при малом значении постоянной времени звена необходимо увеличивать значение k. Это обычно приводит к необходимости ставить дополнительный безынерционный усили­тель, особенно если требуется производить дифференци­рование достаточно точно.

Рисунок 16 - Примеры конструктивного исполнения реальных дифференцирую­щих звеньев

Переходный процесс в реальном дифференцирующем звене при подаче на его вход толчкообразного возмуще­ния определится как интеграл уравнения (30), запи­санный в следующем виде:

. (31)

Переходный процесс для такого звена приведен на рисунке 15.

Примеры конструктивного выполнения реальных диф­ференцирующих звеньев приведены на рисунке 16, а—в. Это обычно бывают пассивные четырехполюсники, со­держащие RС (реже RL и RLM) в электрических цепях, успокоитель с пружиной в механических цепях и другие устройства.

Сообразно с уравнением (30) передаточная функ­ция реального дифференцирующего звена может быть записана так:

. (32)

В выражениях (30) и (32) k может быть мень­ше единицы, т. е. может иметь место уменьшение выходного сигнала, например если выходная величина в дифференцирующем звене RС снимается не со всего сопротивления, а лишь с части его или если в соответствии с схемой (рисунок 31, а) плечи a и б выходного рычага в механическом дифференцирующем элементе не равны друг другу. Коэффициент k при этом будет принимать разные значения и в том числе может быть равен единице; в этом случае можем написать: . (33)

Амплитудно-фазовая характеристика для подобного звена, построенная по уравнению (33), приведена на рисунке 17.

Рисунок 17 - Амплитудно-фазовая характеристика для реального дифференцирующего звена