12.2 Узагальнена модель руху двофазних систем

Ця модель враховує гідродинамічні, капілярні та гравітаційні сили. Вона може бути представлена одним рівнянням для насиченості.

Прямолінійно-паралельна фільтрація. Виведемо це рівняння на прикладі одновимірної фільтрації, коли , у полі сил гравітації. Систему рівнянь записуємо у вигляді:

; (12.27)

; (12.28)

; (12.29)

; (12.30)

, (12.31)

де v₁, v₂ – швидкості фільтрації фаз; ;.

Перетворюємо систему в такій послідовності:

1) додаємо обидва рівняння нерозривності для двох фаз (12.30) та (12.31) та інтегруємо:

; (12.32)

; (12.33)

2) диференціюємо рівняння капілярного тиску (12.29) по х:

; (12.34)

3) підставляємо обидва рівняння руху (12.27) та (12.28) в (12.33):

, (12.35)

де ;– сумарна швидкість фільтрації потоку.

Рівняння (12.33) показує, що сумарна швидкість фільтрації v не залежить від координати х, тобто є або постійною, або відомою функцією часу (аналогічно сумарна витрата рідин ). Це є наслідком припущення про нестисливість фаз.

Далі із рівняння (12.34) знаходимо , підставляємо його в рівняння (12.35) і визначаємо, яке підставляємо в рівняння руху першої фази (12.27). Диференціюючи одержаний вираз для швидкостіv₁ по х і підставляючи в рівняння нерозривності потоку першої фази (12.30), одержуємо шукане рівняння для насиченості

, (12.36)

де частка витіснювальної рідини в потоці (іншими словами функція розподілу потоків фаз, або функція Баклея-Леверетта)

; (12.37)

;.

Для зручності аналізу рівняння (12.35) записуємо в безрозмірному вигляді, вводячи безрозмірні незалежні змінні величини

;, (12.38)

де L – характерний лінійний розмір (довжина пласта); m L F – поровий об’єм пласта;  – безрозмірна координата (можна розглядати як частку об’єму пласта між початковим перерізом і перерізом з координатою х);  – безрозмірний об’єм рідини, який запомповано в пласт на момент часу t і виражено в частках порового об’єму (кратність промивання пласта).

Тоді рівняння для насиченості (12.36) з урахуванням виразу (12.20) для капілярного тиску р_к набуває вигляду:

, (12.39)

де ;А_г, А_к – безрозмірні параметри,

;. (12.40)

Безрозмірні параметри А_г та А_к характеризують відношення відповідно сил гравітації та капілярних сил до сил в’язкості.

Рівняння (12.39) є нелінійним рівнянням параболічного типу другого порядку. Для деяких простих частинних умов одержано точні розв’язки, а також числові розв’язки з допомогою ЕОМ.

Плоско-радіальна фільтрація. Аналогічно можна дістати рівняння для плоско-радіального потоку, якщо взяти

,, (12.41)

де r – біжучий радіус; R_к – відстань від нагнітальної до видобувної свердловини; h – товщина пласта.

Так, у випадку плоско-радіального потоку, оскільки, як відомо, можна здійснити заміну ,,,, а відтак отримуємо рівняння руху

; (12.42)

(12.43)

і рівняння нерозривності потоку

; (12.44)

. (12.45)

Тоді послідовно маємо:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

+

;

;

;

; ; (12.46)

(12.47)

Рівняння (12.47) стосовно плоско-радіального потоку теж є нелінійним диференціальним рівнянням параболічного типу другого порядку.