6.5 Методи комплексного потенціалу та конформних відображень

Поняття комплексного потенціалу випливає з основних положень теорії функції комплексної змінної. Її застосування дає змогу розв’язувати деякі задачі фільтрації простіше і повніше, ніж іншими методами. Далі розглянемо обгрунтування комплексного потенціалу, принципи і важливі результати.

Як вже зазначалося, гідродинамічне поле являє собою сукупність ліній ізобар (еквіпотенціалей) і ліній течій. Для кожної еквіпотенціалі справедливим є рівняння рівня потенціалу

, (6.42)

причому надаючи певні значини константі, переходимо від одної еквіпотенціалі до іншої. Потенціал Ф пов’язаний з системою рівнянь закону Дарсі у вигляді (6.3):

(6.43)

і задовольняє рівняння Лапласа

. (6.44)

Аналогічно для кожної лінії течій також можна записати рівняння рівня функції течій:

. (6.45)

Функцію назвемо функцією течії. Покажемо, що вона також задовольняє рівняння Лапласа. Для цього знайдемо в явному вигляді рівняння лінії течії. Лінією течії називається така лінія, дотична до якої у довільній точці збігається з вектором швидкості. Звідси записуємо вирази для напрямних косинусів (рис. 6.8):

, (6.46)

де dl – елемент лінії течії з проекціями на координатні осі dx та dy; – модуль вектора швидкості з проекціямита.

Розв’язуючи спільно вирази (6.46), отримуємо рівняння лінії течії:

, (6.47)

або

. (6.48)

Функція течії є постійною вздовж лінії течії і змінюється лише під час переходу від одної лінії течії до другої. Отже, її повний диференціал доpівнює нулю, тобто

. (6.49)

Порівнюючи вирази (6.48) і (6.49), маємо

. (6.50)

Порівнюючи відповідні рівняння (6.43) і (6.50), дістаємо рівняння Коші-Рімана (або інакше Даламбера-Ейлера)

. (6.51)

Диференціюючи рівняння (6.51), дійдемо висновку, що функція задовольняє рівняння Лапласа:

(6.52)

або

. (6.53)

Отже, іє спряженими гармонічними функціями, оскільки обидві задовольняють рівняння Лапласа і зв’язані між собою рівняннями Коші-Рімана. А з теорії функцій комплексної змінної відомо, що з таких двох спряжених гармонічних функцій можна скласти функцію комплексної змінної:

, (6.54)

де – комплексна змінна;i – уявна одиниця.

Функцію F(z) називають характеристичною функцією руху, або комплексним потенціалом.

Доведемо ще, що лінії течії та еквіпотенціалі взаємно перпендикулярні. Оскільки = const і = const, то

; (6.55)

. (6.56)

Із рівнянь (6.55) і (6.56) згідно з рис. 6.8 кутові коефіцієнти дотичних прямих до еквіпотенціалей і ліній течій запишуться так:

; (6.57)

. (6.58)

З урахуванням рівнянь Коші-Рімана добуток кутових коефіцієнтів

(6.59)

Як відомо з аналітичної геометрії, умова є доказом перпендикулярності лінії, а отже лінії течій та еквіпотенціалі (їх дотичні) взаємно ортогональні.

Таким чином, якщо нам відома функція комплексної змінної F(z) згідно з формулою (6.54), то виділивши в ній дійсну частину Re F(z) від уявної Im F(z) (лінійні оператори Re та Im – від французьких слів real і imaginaire, що перекладаються як дійсний та уявний – означають взяття відповідно дійсної та уявної частини деякого комплексного виразу), можна вважати, що дійсна частина являє собою потенціал деякого плоского фільтраційного потоку , а уявна частина – функцію течії. Прирівнюючи їх до постійних значин, одержуємо ряд еквіпотенціалей= const і ряд ліній течій = const (рис. 6.9).

Швидкість фільтрації в будь-якій точці пласта визначається за похідною Для пояснення цього, диференціюючи (6.54) і використовуючи рівняння Коші-Рімана (6.51), знайдемо

(6.60)

звідки

, (6.61)

або з урахуванням рівнянь закону Дарсі (6.43)

, (6.62)

де після винесення i за дужки ;;– комплексно спряжена величина швидкості фільтрації. Похіднуназиваютькомплексною швидкістю.

Із виразів (6.61) і (6.62) випливає, що похідна є комплексним числом, а тоді модуль комплексної швидкості дорівнює модулю швидкості фільтрації, тобто

. (6.63)

Визначимо закон руху частинок рідини вздовж лінії течії L. Проекції швидкості фільтрації на координатні осі можна записати так:

. (6.64)

Тоді, підставляючи формули (6.64) у вираз (6.61), дістаємо

, (6.65)

звідки, інтегруючи, одержуємо формулу часу руху частинки рідини на довжині L лінії течії:

, (6.66)

де – спряжена із z комплексна змінна.

Можна показати, що різниця значин функцій течій на двох лініях течій дорівнює витраті рідини між цими лініями (фізичний зміст функції течії).

Аналогічні міркуваня справедливі й щодо стисливої рідини чи газу, тільки під швидкістю фільтрації треба розглядати масову швидкість фільтрації, а під потенціаломФ розуміти вираз , де ρ – густина стисливої рідини (газу).

Оскільки функції ізадовольняють рівнянню Лапласа, то комплексні потенціали також можна додавати за методом суперпозиції.

Розглянемо приклади деяких комплексних потенціалів потоків на площині.

1. Комплексний потенціал для прямолінійно-паралельного потоку виражається функцією

, (6.67)

де a і b – дійсні або комплексні постійні. Нехай . Тоді

_(6.68)

Звідси маємо:

(6.69)

.

тобто гідродинамічне поле представлено перпендикулярними прямими, а рух є прямолінійним з постійною швидкістю фільтрації , деє постійними величинами).

2. Комплексний потенціал точкового стоку, що розміщений у центрі координат,

, (6.70)

або для

(6.71)

звідки, відділивши дійсну частину від уявної, отримуємо:

, (6.72)

де r,  – полярні координати довільної точки М; b – стала величина; . Ми одержали відомий вже вираз (6.5) для потенціалуФ, тобто еквіпотенціалі являють собою концентричні кола радіуса r = const, а лінії течії є радіальними прямими лініями, що проходять під кутом  = const з центру координат.

3. Якщо точковий стік розміщено не на початку координат, а в точці з комплексною координатою , то комплексний потенціал записується аналогічно:

. (6.73)

Якщо подати комплексну змінну в полярних координатах, то дістанемо:

, (6.74)

де r – відстань від будь-якої точки М площини потоку z не до початку координат, а до особливої точки , в якій розміщено стік; – полярний кут з вершиною в цій особливій точці. Тоді F(z) виразиться формулою типу (6.71), а Ф і  – відповідно формулами (6.72).

У цілому фільтраційний потік досліджують із застосуванням комплексного потенціалу (характеристичної функції) потоку в такій послідовності:

1. Складають за принципом суперпозиції характеристичну функцію потоку деj – номер потоку (чи свердловини); п – їх кількість; – характеристична функціяj-гопотоку (чи свердловини); с – деяка постійна.

2. Якщо j-та свердловина розміщена не в центрі координат, то записують її комплексну координату , а тоді – характеристичну функцію .

3. Комплексну змінну записують у полярних координатах виразом .

4. Підставляють у.

5. Виділяють в дійсну та уявну частини і записуютьта.

6. Переходять до декартових координат у таі виводять рівняння еквіпотенціалей та ізобар і рівняння ліній течії.

7. З граничних умов визначають постійну в рівняннях.

8. Модуль швидкості фільтрації і час руху рідини визначають за відповідними формулами, взявши похідну .

Задача 6.4. Дослідити характеристичну функцію , яка описує деякий плоский фільтраційний потік, тобто встановити потенціалФ(x, y), функцію течії Ψ(x, y), рівняння ізобар, ліній течії і модуля швидкості фільтрації, а також охарактеризувати гідродинамічне поле потоку, де q – питома витрата рідини; z – комплексна змінна; а, с – константи; x, y – просторові координати.

Розв’язування. Для одержання розв’язку подаємо комплексні числа в полярних кординатах:

;

,

де r₁, r₂ – відстані від будь-якої точки М площини потоку z відповідно до точок та, в яких розміщено стоки 1 і 2; θ₁, θ₂ – полярні кути з вершинами відповідно в цих точках.

Тоді характеристична функція набуває вигляду:

,

а відділивши дійсну частину від уявної, отримуємо потенціал і функцію течії:

,

де с', с'' – константи.

Для знаходження рівняння еквіпотенціалей чи, іншими словами, рівняння ізобар треба покласти Ф = const, звідки маємо шукане рівняння в полярних координатах:

r₁r₂ = b = const.

Як відомо з аналітичної геометрії, це рівняння являє собою лінію Кассіні (кассіноїду), для геометричного місця точок М якої добуток відстаней до кінців заданого відрізка дорівнює квадрату цього відрізка.

Для переходу від полярної системи координат до декартової комплексне число подаємо так:

та перетворюємо за формулою Ейлера

,

де ρ – модуль комплексного числа (z² – a²); φ – аргумент цього числа; r – відстань від точки М до початку координат; θ – полярний кут.

Помножимо ліву і праву частини останнього рівняння на взаємно спряжені числа, тобто

,

звідки отримуємо:

.

Так як то

.

Підставивши ρ² в рівняння ізобар замість (r₁, r₂), маємо рівняння кассіноїдних ліній в декартовій системі координат:

.

Для отримання рівняння ліній течії із поданого вище рівняння

записуємо тангенс кута φ як відношення ординати до абсциси точки М, тобто

,

звідки

.

Так як функція течії , коли, то рівняння ліній течії одержуємо у вигляді:

.

Оскільки , , , , то рівняння ліній течії зводиться до вигляду:

або

.

Це рівняння є рівнянням гіперболи.

Для знаходження модуля швидкості фільтрації беремо похідну від F(z) по z (див. вище), тобто

.

Для побудови гідродинамічного поля треба задавати ряд значин константам b i b₁. Лінії ізобар будуть кассіноїдами, а лінії течій – ортогональними їм гіперболами.

Відповідь: ,r₁r₂ = const або ; або ; гідродинамічне поле є сукупністю кассіноїд і гіпербол.

Розширенням методу комплексного потенціалу є метод конформних відображень (від лат. comformis – подібний, відповідний). Як відомо з теорії функцій комплексної змінної, конформним називають відображення однієї поверхні на іншу, які володіють властивістю консерватизму кутів (зберігаються кути між усіма напрямами) і властивістю постійних лінійних розтягів (стиснень).

Суть методу конформних відображеньполягає в тому, що для складної досліджуваної області фільтрації будується допоміжна область комплексного потенціалу, а відтак здійснюється наступне конформне відображення на цю область реального руху з допомогою аналітичної функції. Допоміжна область являє собою прямокутник або круг, для яких дослідження фільтраційного потоку не складає математичних утруднень. А наявність функціонального зв’язку між координатами допоміжної області й координатами реальної області фільтрації дає змогу перенести одержаний розв’язок на реальну область фільтрації. Тобто вводимо нову комплексну змінну

, (6.75)

що зв’язана з комплексною змінною

(6.76)

співвідношенням

, (6.77)

де z() – довільна аналітична функція, яка реалізує конформне відображення площиниz на площину . Тоді маємо:

. (6.78)

Отже, задаючись тією чи іншою перетворювальною функцією z(), з одного потокуF(z) на площині z одержуємо потік на площині, а вивчивши останній, повертаємося до початкового потоку.

Наприклад, взявши перетворювальну функцію у вигляді

, (6.79)

перейдемо від плоско-паралельного руху

(6.80)

до плоско-радіального руху зі свердловиною в центрі координат (рис. 6.10)

. (6.81)

Якщо взяти перетворювальну функцію

, (6.82)

то від потоку до свердловини біля прямолінійного контура (рис. 6.11) перейдемо до плоско-радіального потоку в круговому пласті з центральною чи ексцентричною свердловиною, задаючи .

Якщо в круговому пласті маємо концентричний коловий ряд (батарею) з n рівнодебітних свердловин (рис. 6.12), то внаслідок симетрії достатньо розглянути приплив до одної свердловини в секторі з центральним кутом (на площиніz). Степенева функція

(6.83)

розгорне кут  на площині z у круг на площині , де одержимо потік до свердловини, ексцентрично розміщеної в круговому пласті радіусана відстанівід центра, причому радіус свердловини

. (6.84)

Тоді з відомої формули (6.38) після підстановки _{к, , с} дістанемо формулу дебіту однієї свердловини у коловому ряду

. (6.85)

Формулу дебіту однієї свердловини у прямолінійному нескінченному ряду можна дістати, використавши функцію

, (6.86)

яка нескінченну півплощину z конформно відображає на круг площини з ексцентричною свердловиною, де позначення показано на рис. 6.13. У результатіформула дебіту одної свердловини в прямолінійному нескінченному ряду набуває вигляду:

. (6.87)

Зазначимо, що ці формули можна також дістати прямим відображенням стоків у контурі живлення пласта і використанням методу суперпозиції, але виведення їх у цьому разі трудомісткіше. При цьому у випадку колового контура відображення здійснюється згідно із згаданим вище законом інверсії (6.37).