Алгебраическое дополнение

Aij ij ( 1)i j Mij

На рис.1.1 показаны знаки сомножителя (-1)i+j для определителя 3-го порядка

Рис. 1.2

Формула разложения определителя порядка n по элементам строки i (i = 1, 2, …, n) имеет вид

Пример 1.9. Проверить, что для треугольных матриц определитель равен произведению диагональных элементов и det A = det AT:

Определитель матрицы A находим посредством алгебраических дополнений по элементам последних строк, т.е.

det A

Обращение матрицы можно осуществить по следующему правилу.

1.Вычислить определитель исходной матрицы

=det A.

2.Сформировать матрицу из алгебраических дополнений всех элементов исходной матрицы

Aij ( 1)i j Mij .

3. Транспонировать матрицу алгебраических дополнений, что дает присоединенную матрицу по отношению к исходной матрице A.

4. Каждый элемент присоединенной матрицы разделить на определитель исходной матрицы .

Пример 1.10. Произвести обращение матрицы

и доказать, что она обратная.

Решение

Доказательство: Если A-1 – обратная матрица, то справедливо выражение AA-1 = E.

1.6. Системы линейных алгебраических уравнений

Предположим, что задана система m линейных уравнений относительно n неизвестных x1, x2, …, xn.

В развернутой форме её можно записать так:

am1x1 am2 x2 K amn xn bm

Введем матрицу системы A и вектор-столбцы X и B:

что позволяет систему (1.34) записать более компактно в матричной форме:

Совокупность чисел 1, 2 ,K , n

называется решением системы (1.34), если в результате замены неизвестных

x1 1, x2 2 ,K , xn n

все уравнения системы дадут арифметические тождества.

Примером системы, обладающей единственным

решением является, например:

x1 x2 2 x1 x2 0.

Её решением служат значения неизвестных:

Действительно, запишем уравнение в виде x2 1 x1 .

образуют несовместную (противоречивую) систему.

Пример 1.11. Решить линейную систему 3-х уравнений с 4-мя неизвестными

x1 2x2 3x3 5x4 14 4x1 3x2 0x3 9x4 10