- •Системы линейных уравнений
- •Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
- •Совокупность значений неизвестных
- •Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Рассмотрим систему линейных уравнений
- •Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
- •Далее составим три вспомогательных определителя:
- •Решение системы (10) находим по формулам:
- •Замечание.
- •Пример
- •Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления
- •Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
- •Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу
- •Матрицу
- •Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения
- •Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует А 1 , то
- •Замечание
- •Пример
- •Ранг матрицы. Элементарные преобразования.
- •Миноры матрицы
- •Пример
- •Если выбрать какие-либо две строки и два столбца матрицы, то можно составить миноры
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •4.Отбрасывание одной из двух одинаковых строк.
- •Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
- •Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг
- •Пример
- •Понятие о линейной зависимости
- •Строки e1, e2 ,..., em матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие
- •Если одна из строк матрицы линейно выражается через другие строки, то строки этой
- •Пример
- •Теорема о ранге матрицы
- •Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r
- •Теорема. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его
Системы линейных уравнений
Лекция 3
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
а11 х1 а12 х2 а13х3 ... |
а1n хn b1, |
||||
|
а х а х а х ... |
а х b , |
|||
|
21 1 |
22 2 |
23 3 |
2n n |
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
.................... |
|
.......... .......... |
.................. |
|
|
а х а х ...а х |
а х b . |
|||
|
n1 1 |
n2 2 |
n 3 3 |
nn n |
n |
Совокупность значений неизвестных
xi i
где i =1, 2, …, n, при подстановке
которых уравнения системы
обращаются в равенства, назовем
решением системы.
Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.
Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Система, имеющая единственное решение, называется определенной.
Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Правило Крамера решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
а11 х1 |
а12 х2 |
а13 х3 b1 , |
||||||||||
|
а21 х1 а22 |
х2 |
а23 х3 |
b2 , |
||||||||
|
||||||||||||
|
а |
31 |
х а |
32 |
х |
2 |
а |
33 |
х |
3 |
b . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера,
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|||
|
а21 |
а22 |
а23 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
Назовем его определителем системы. Если Δ≠0, то система совместна
Далее составим три вспомогательных определителя:
|
b |
а |
12 |
а |
13 |
|
а11 |
b1 |
а13 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
x2 |
а21 |
b2 |
а23 |
|
||
х |
b |
2 |
а |
22 |
а |
23 |
|
||||
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|||
|
b3 |
а32 |
а33 |
а31 |
b3 |
а33 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
b1 |
|
|
|||
x3 |
|
а21 |
а22 |
b2 |
|
|
а31 |
а32 |
b3 |
Решение системы (10) находим по формулам:
х1 |
|
х1 |
, |
х2 |
|
х |
2 , |
х3 |
|
х3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые называют формулами Крамера
Замечание.
Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.