Рис. 1.1 Схема операции умножения матриц
Пример 1.4. Найти произведение |
AB C |
||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
8 1 |
|
1 |
3 |
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||
|
4 |
0 3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
AB |
3 2 2 1 8 0 1 3 |
3 |
|
|
1 2 3 8 1 1 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 11 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
14 |
|
|
1 2 4 1 0 0 3 3 1 |
|
1 |
|
4 3 0 1 |
3 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.5. Найти произведение квадратной матрицы и вектор–столбца.
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
|
5 |
6 |
|
||
4 |
|
2 |
|
||
7 |
8 |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Произведение двух матриц не обладает переместительным свойством:
AB BA , в чем можно убедиться на примере:
|
1 |
2 |
|
|
5 |
6 |
|
A |
|
|
B |
|
|
||
3 |
4 |
, |
7 |
8 |
, тогда |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
и BA |
1.3. Определитель матрицы
Прямой способ приемлем для матриц 2-го и 3-го порядков.
Обратимся к матрице 2-го порядка
a |
a |
. |
(1.10) |
A 11 |
12 |
||
a |
a |
|
|
21 |
22 |
|
|
Определителем (или детерминантом) этой матрицы является число, равное a11a22 a21a12 .
Пример 1.6. Вычислить определитель 3-го порядка
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
0 |
4 |
5 |
|
|
6 |
7 |
8 |
|
|
Линейная зависимость и линейная комбинация элементов матрицы
Запишем два столбца:
|
a |
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
A1 |
a2 |
|
A2 |
|
a2 |
|
a2 |
|
(1.14) |
|
|
, |
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
... |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
am |
|
am |
|
|
||
|
am |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где λ – действительное число.
Указанные столбцы A1 и A2 являются линейно
зависимыми, вследствие их связи через коэффициент пропорциональности λ.
Свойства определителей
1.Равноправие строк и столбцов
2.Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю
3.При перестановке местами двух любых столбцов определителя его знак изменяется на противоположный; абсолютная величина не меняется
4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю:
|
|
1 |
1 |
4 |
|
15 15 0 |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
5 |
|
||
|
|
3 |
3 |
6 |
|
|
5. Если какой-либо столбец определителя является линейной комбинацией других его столбцов, то определитель равен нулю
6. Определитель не изменится, если к любому его столбцу прибавить произвольную линейную комбинацию других столбцов
7. Общий множитель некоторого столбца (строки) определителя можно вынести за знак этого определителя
1.4. Алгебраические дополнения и миноры
|
Рассмотрим определитель D 3-го порядка (n = 3): |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
a1121 |
|
|
a1222 |
a1323 |
|
. |
(1.24) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
||||
|
Выделим в нем, например, элемент aij = a13. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M13 |
|
a21 |
a22 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
||||
|
Минорами элементов a11 a12 определителя (1.24) |
|||||||||||||||||||||
являются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M11 |
|
|
a |
a |
|
, |
M12 |
|
|
a |
a |
|
. |
|
|
|
|
|
(1.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a22 |
a23 |
|
|
a21 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
32 |
33 |
|
|
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||