- •Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Возможные обозначения матрицы:
- •Матрица размером 1 n
- •Транспонированная матрица. Если в матрице A (1.1) типа m×n строки заменить соответственно столбцами,
- •Квадратная матрица
- •Пример
- •Диагональная матрица. Это квадратная матрица,
- •Единичная матрица. Это диагональная матрица, у которой элементами главной диагонали являются единицы. Единичная
- •1.2. Операции с матрицами и их свойства
- •Произведение двух матриц. Даны две Прямоугольные матрицы A и B, имеющие соответственно размеры
- •Рис. 1.1 Схема операции умножения матриц
- •Пример 1.4. Найти произведение
- •Пример 1.5. Найти произведение квадратной матрицы и вектор–столбца.
- •Произведение двух матриц не обладает переместительным свойством:
- •1.3. Определитель матрицы
- •Пример 1.6. Вычислить определитель 3-го порядка
- •Линейная зависимость и линейная комбинация элементов матрицы
- •Свойства определителей
- •4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю:
- •1.4. Алгебраические дополнения и миноры
- •Алгебраическое дополнение
- •Пример 1.9. Проверить, что для треугольных матриц определитель равен произведению диагональных элементов и
- •1.5. Обратная матрица
- •Обращение матрицы можно осуществить по следующему правилу.
- •Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
- •1.6. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Введем матрицу системы A и вектор-столбцы X и B:
- •Примером системы, обладающей единственным
- •Пример 1.11. Решить линейную систему 3-х уравнений с 4-мя неизвестными
- •Решение. Применим в качестве базисных неизвестных
Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Виды матриц
Матрицей A размера m n
называется прямоугольная таблица, состоящая из aij элементов:
a |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
12 |
... |
1n |
|
||
a |
a |
a |
|
|
(1.1) |
|
A 21 |
22 |
... |
|
2n |
|
|
... ... |
... |
|
|
|||
am1 |
am2 |
... |
amn |
|
||
В общем случае матрица имеет m строк i 1,2,...,m и n столбцов j 1,2,...,n .
Возможные обозначения матрицы:
A |
|
|
|
|
|
a |
|
, i 1,2,...,m; j 1,2,...,n |
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|||
|
ij |
|
|
|
ij |
|
|
|
Пример 1.1. Числовая матрица A размера 2×3
имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
7 |
2 |
4 |
|
|
7 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3 |
0 |
5 |
|
|
3 |
0 |
5 |
|
(1.2) |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица размером 1 n |
, состоящая и |
||
называется матрицей – строкой: |
|
строки, |
|
b11 b12 ... b1n , |
m 1, или b1 b2 |
... bn . |
(1.3) |
Аналогично этому имеет место матрица – столбец размера m×1:
b |
|
|
b |
|
|
11 |
|
1 |
|
||
b21 |
|
n 1, или |
b2 |
|
(1.4) |
... |
, |
... . |
|||
|
|
|
|
|
|
bm1 |
|
|
bm |
|
|
Транспонированная матрица. Если в матрице A (1.1) типа m×n строки заменить соответственно столбцами, то получим транспонированную матрицу AT размерности n×m:
a11
AT a...12a1n
a21 |
... |
am1 |
|
|
|
a |
... |
a |
|
|
(1.5) |
22 |
|
|
m2 |
. |
|
... |
... ... |
|
|
||
|
|
||||
a2n |
... |
amn |
|
|
|
Для матрицы A (1.2) транспонированная матрица AT имеет вид
T |
7 |
3 |
|
|
|
2 |
0 |
||
A |
|
. |
||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Квадратная матрица
Например, квадратная матрица 3-го порядка имеет вид
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
A a21 |
a22 |
a23 |
. |
(1.6) |
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
|
Частные |
виды квадратных |
Квадратная |
A aij называется симметричной, |
матриц |
|
матрица |
если она совпадает со своей транспонированной, т.е.
A AT . Из этого равенства следует, что элементы матрицы, симметричные относительно главной
диагонали, равны между собой: aij aji . Например,
|
11 |
3 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
12 |
6 |
2 |
|
|
A |
3 |
|
– симметричная матрица |
||||
|
7 |
6 |
13 |
0 |
|
||
|
|
5 |
2 |
0 |
14 |
|
4-го порядка. |
|
|
|
|
||||
Пример |
|
|
||
1.2.a |
a |
a |
– верхняя треугольная |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
0 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
матрица, |
|
0 |
0 |
a33 |
|
|
|
|
|||
a |
0 |
11 |
a22 |
a21 |
|
a |
a |
31 |
32 |
0
0
a33
– нижняя треугольная матрица.
Диагональная матрица. Это квадратная матрица,
у которой главную диагональ образуют произвольные |
|||||
элементы, отличные от нуля aii 0 |
; все прочие |
||||
элементы равны нулю aij |
0, i j . |
|
|
||
|
|
|
Например, |
||
a |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
11 |
a22 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||
A |
0 |
0 |
a33 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
a44 |
|
|
|
||||
– диагональная матрица 4-го порядка.
Единичная матрица. Это диагональная матрица, у которой элементами главной диагонали являются единицы. Единичная матрица обозначается буквой E и выполняет роль единицы в матричном исчислении.
Пример |
|
||
1.3.1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
E 0 |
1 |
0 |
– единичная матрица 3-го порядка. |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1.2. Операции с матрицами и их свойства
Равенство матриц.
Сложение матриц. Сложение двух матриц A и B дает матрицу С:
A B C , где cij aij bij , i 1,...,m; j 1,...,n.
Умножение матрицы A на число λ дает матрицу B, элементы которой получаются умножением всех элементов матрицы на коэффициент λ , т.е.
a |
a |
... |
a |
|
||||
|
11 |
|
12 |
... |
1n |
|||
a |
a |
|
a |
|
|
|||
A A B |
21 |
|
|
22 |
... |
|
2n |
. |
... |
... |
... |
|
|||||
a |
m1 |
a |
m2 |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
mn |
|||||
Произведение двух матриц. Даны две Прямоугольные матрицы A и B, имеющие соответственно размеры m1×n1 и m2×n2. Если число
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, , т.е.
n1 m2 , |
(1.7) |
то возможно их произведение |
|
A B C . |
(1.8) |
Согласно (1.8) элемент Cij равен сумме
произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B.