Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить поток векторного поля через поверхность сферы, в направлении внешней нормали.

2. Вычислить поток векторного поля через поверхность куба,,, в направлении внешней нормали.

3. Вычислить поток векторного поля через поверхность тела объемом, в направлении внешней нормали.

Ответы

1.  . 2.  .3.  .

Формула Стокса. Ротор

Пример. Найти циркуляцию векторного поля по сечению сферыплоскостью.

Решение. Контуром для вычисления циркуляции является окружность, заданная пересечением двух поверхностей. Получить ее уравнение в параметрическом виде достаточно сложно, поэтому для вычисления циркуляции воспользуемся формулой Стокса , то есть вместо криволинейного интеграла по окружностимы будем вычислять поверхностный интеграл от ротора нашего поля по плоской поверхности, натянутой на окружность. Найдем ротор нашего поля

.

Вектор нормали .

.

Значение подынтегральной функции на поверхностиравно, поэтому последний интеграл приобретает вид. Для окончательного вычисления интеграла необходимо найти площадь круга. Найдем- радиус этого круга. Плоскостьпересекает координатные оси в точках с координатой, это значит, что в наш круг вписан равносторонний треугольник со стороной. Стороны треугольника лежат на координатных плоскостях. Радиус кругабудет равен, а его площадь, то есть. Значение искомого потока будет определяться выражением. Тогда окончательно имеем

.

Пример. Найти циркуляцию векторного поля по контуру, вырезанному из параболоидаплоскостями, в положительном направлении относительно внешней нормали параболоида.

Решение. Воспользуемся формулой Стокса и вместо циркуляции вычислим поток через поверхность, которая вырезается указанными плоскостями из параболической поверхности. Найдем ротор:

.

Поверхностный интеграл от по параболической поверхности сводим к трем двойным интегралам по плоским областям,,- проекциям параболической поверхности на координатные плоскости.

.

Два первых двойных интеграла совпадают с точностью до обозначений, поэтому они взаимно уничтожаются. Третий двойной интеграл по четвертушке круга вычисляем при помощи замены переменных.

.

Пример. Найти работу векторного поля вдоль винтовой линииот точкидо точки.

Решение. Заметим, что ротор нашего поля равен нулю.

.

Дополним винтовую линию отрезкомдо замкнутого контура. Тогда, согласно формуле Стокса, имеем:

.

Отсюда . Таким образом, для того чтобы найти работу нашего векторного поля по винтовой линиинеобходимо вычислить интеграл от этого поля по отрезку. Так как на отрезкеиимеем:

.

Пример. Вывести теорему о циркуляции - циркуляция индукции магнитного поля вдоль замкнутого контураравна току, охватываемому этим контуром, умноженному на магнитную постоянную вакуума.

Решение. Рассмотрим индукцию магнитного поля, созданного электрическим током , протекающим по проводу, расположенному вдоль оси,. Ротор и дивергенция этого поля во всех точках пространства кроме точек, лежащих на оси, равны нулю. Циркуляцию поляпо окружности, охватывающей ось, невозможно вычислить при помощи формулы Стокса. Поле не определено на осии пространство не является поверхностно-односвязным, поэтому формула Стокса не справедлива. Циркуляцию поляпо окружностивычислим непосредственно через криволинейный интеграл второго рода. В каждой точке окружностиполенаправлено по касательной к кривой и его модуль равен, поэтому. Мы воспользовались тем, чторавен длине нашей окружности. Покажем, что результат не изменится, если ток будет протекать не через центр круга. Для этого сместим окружность перпендикулярно осина расстояние, не превосходящее. Применим формулу Стокса для контура, охватывающего поверхность,

.

Поверхностный интеграл в левой части формулы равен нулю, так как равен нулю во всех точках кроме точек, принадлежащих оси. Отсюда следует, что. Аналогично показываем, что. Так как циркуляция поляпо окружностиравна, а циркуляция поля по смещенной окружности равна, то они одинаковые и равны. Таким образом, циркуляция поляпо окружностиравна, где- любой ток, охватываемый окружностью. Деформируя окружность произвольным образом добавлением и вычитанием поверхностей,и т.д., распространим этот результат на любой замкнутый контур. Используя аддитивность токов и созданных ими полей, распространяем результат на любое количество токов, охватываемых контуром, и получаем теорему Гаусса - циркуляция индукции магнитного поля вдоль замкнутого контураравна току, охватываемому этим контуром, умноженному на магнитную постоянную вакуума.