- •Модуль 7
- •Необходимое условие сходимости ряда
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Условная сходимость. Признак Абеля-Дирихле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 10 Степенные ряды
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятия 12 Тригонометрический ряд Фурье функции на интервале
- •Ряд Фурье функции на интервале
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Преобразование Фурье
- •Косинус- преобразование и синус-преобразование Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
Модуль 7
«Ряды»
дисциплины
«Математический анализ»
Методическое пособие к практическим занятиям
Методическое пособие к практическим занятиям предназначено для оказания помощи студентам по самостоятельному решению вне аудитории заданий, указанных в семестровом плане (см. документ «План практических занятий»). В нем приводятся подробные решения типовых задач. Особое внимание уделяется наиболее сложным (узловым) этапам решений. После разбора решений типовых заданий настоятельно рекомендуется решить предлагаемые задания для самостоятельного решения.
Занятие 8
Сумма числового ряда. Сходимость
Пример. Исследовать сходимость геометрической прогрессии:
.
Решение. Пусть обозначает-ую частичную сумму геометрической прогрессии, т.е..
Следовательно, .
Отсюда и для частичной суммы геометрической прогрессии справедливо равенство:
.
Находим
Из определения сходящегося ряда следует, что геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда и ее сумма, в этом случае, равна.
Ответ:
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Данный ряд - геометрическая прогрессия, знаменатель которой .
Следовательно, как следует из примера (2.1.1) ряд сходится.
Ответ: сходится и его сумма.
Необходимое условие сходимости ряда
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Преобразуем модуль . Отсюда по второму замечательному пределу
.
Это означает, что не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Признаки сравнения рядов
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Как показано в примере (2.1.2) ряд сходится. Кроме того, имеет место неравенствопри всех. Так как члены исследуемого ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд также сходится.
Ответ: сходится.
Предельный признак сравнения
Пусть ,и,. Тогда рядыисходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Как известно, гармонический ряд расходится. Поэтому по предельному признаку сравнения расходится ряд, так как
.
Ответ: расходится.
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 15 исследовать сходимость числового ряда с общим членом un.
1. .2. .
3. .4. .
5. .6. .
7. .8. .
9. .10. .
11. .12. .
13. .14. .
15. .
Ответы.
1. Расходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Сходится. 6. Сходится при а > 1. 7. Сходится. 8. Сходится. 9. Сходится. 10. Сходится. 11. Расходится. 12. Сходится. 13. Сходится. 14. Сходится при α > 0. 15. Расходится.
Занятие 9
Признак Даламбера
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Исследуем сходимость по признаку Даламбера, а именно, найдем
.
Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ: сходится.
Признак Коши
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Для применения признака Коши преобразуем модуль
.
Отсюда
.
Поэтому по признаку Коши ряд сходится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.
Интегральный признак Коши
Пример. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда Дирихле.
Решение. Рядом Дирихле называется ряд вида . Так какпри всехи, то исследуем сходимость по интегральному признаку сходимости. Вычисляем
Отсюда
Соответственно,
Ответ: ряд
Ряд Дирихле сходится, еслии расходится, если.
Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда .
Решение. Гармонический ряд – это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд расходится.
Ответ: расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Ряд – это частный случай ряда Дирихлес. Поэтому ряд сходится.
Ответ: сходится.