Задачи для самостоятельного решения

В задачах 12 – 17 используя разложения элементарных функций, разложить в ряды Тейлора заданные функции и найти радиусы сходимости.

12. .

13. а) sin 2 z; б) cos 3 z.

14. а) ; б).

15. а) ; б)ln (2–z), .

16. а) ; б).

Указание: умножить и разделить на (z – 1);

17. а) ; б); в).

18. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функций в ряд Тейлора, полагая

а) ; б).

В задачах 19 – 25 разложить функцию f(x) в степенной ряд и указать область его сходимости.

19. .20. .

21. . 22. .

23. .24. .

25. .

В задачах 26 – 29, представив функцию f(x) степенным рядом, вычислить интеграл.

26. .27. .

28. . 29. .

В задачах 30 – 34, применив разложение в степенной ряд соответствующих функций, вычислить с точностью до 0,001.

30. . 31. . 32. .

33. .34. π.

В задачах 35 – 37 решить дифференциальные уравнения, представив искомую функцию в виде степенного ряда.

35. . 36. . 37. .

Разложить функцию в ряд Тейлора.

Указание. Использовать тождество и применить формулу разложения.

Ответы

12. .

13. а) б).

14. а) б).

15. а) б).

16. а) б).

17. а) б)

в) .

18. а) б)

19. , (−∞, +∞).20. , (−∞, +∞).21. , [−1, +1].22. , (−∞, +∞).

23. , (−∞, +∞).24. , (−∞, +∞).25. , (−∞, +∞).26. 0,245. 27. 0,497. 28. 0,487.

29. 0,006. 30. 0,368. 31. 0,342.

32. 0,693, применить формулу разложения с.33. 3,107, , применить формулу.

34. В формуле разложения положить.

35. , (−∞, +∞).36. .37. .

Занятия 12 Тригонометрический ряд Фурье функции на интервале

Пример. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на интервале.

Решение. Заметим, что

1) интервал симметричный относительно начала координат,

2) функция четная.

Поэтому в силу 1), 2) разложим по отдельности каждое слагаемое функции в тригонометрический ряд Фурье на интервале.

Ряд Фурье для 5 будет 5. Для функции в силу ее четности ряд Фурье совпадет с разложением по косинусам. Вычисляем

и .

О

твет:,.

Пример. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на интервале(см. рис.).

Решение. Заметим, что

1) интервалсимметричный относительно начала координат,

2) функция нечетная.

Поэтому в силу 1), 2) разложим по отдельности каждое слагаемое функции в тригонометрический ряд Фурье на интервале.

Ряд Фурье для 2 будет 2. Для функции в силу ее нечетности ряд Фурье совпадет с разложением по синусам. Вычисляем

Ряды Фурье имеют вид:

и .

Ответ: ,.

Ряд Фурье функции на интервале

Ряд Фурье функции на интервалеопределяется не однозначно, в частности, а) по системе; б) по системе.

В случае а) функция продолжается на симметричный интервал как четная функция. Поэтому вычисляются толькопо формулам

.

В случае б) функция продолжается на симметричный интервал как нечетная функция. Поэтому вычисляются толькопо формуле.

Пример. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на интервалеа) по системе;

б) по системе .

Р

ешение. Случай а) рассмотрен ранее, так как четная функция на интервале. Поэтому решаем случай б), когда функция продолжена нечетным образом (см. рис.). Вычисляем

.

Ответ: а) ,; б) 

Пример. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на интервалеа) по системе; б) по системе.

Р

Рис. 6.2.2.

ешение. а) Функция продолжена четным образом. Поэтому вычисляем ,

.

Отсюда ,.

б) Функция продолжена нечетным образом. Поэтому вычисляем только

Отсюда .

Ответ: а) ,; б)