Занятие 3 Поверхностный интеграл первого рода

Пример. Вычислить площадь параболической поверхности

Решение. Площадь поверхности определяется поверхностным интегралом первого рода:. Спроектируем нашу параболическую поверхность на плоскость, то есть на круг с радиусом, и, учитывая, что, заменим поверхностный интеграл соответствующим двойным:. Переходя к полярной системе координат и сводя двойной интеграл к повторному интегралу, окончательно получаем:

Пример. Вычислить массу параболической поверхности , плотность которой меняется по закону

Решение. Масса поверхности определяется интегралом На нашей поверхности выполняется равенствои она проектируется на плоскостьв круг с радиусом. Учитывая, что, заменим поверхностный интеграл соответствующим двойным:. Перейдем к полярным координатам и в результате найдем:

Последний интеграл вычислялся при помощи замены

Пример. Вычислить поверхностный интеграл: где- часть конической поверхностивырезанная цилиндрической поверхностью

Решение. Поверхность, по которой мы производим интегрирование, проектируется на плоскость в круг, при этом элемент конической поверхностипреобразуется следующим образом, поэтому двойной интеграл будет иметь вид:

Перейдем в интеграле к полярным координатам и получим:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти массу поверхности полусферы , если в каждой ее точке поверхностная плотность вещества пропорциональна расстоянию от оси.

2. Найти момент инерции относительно оси однородной сферической оболочки.

Ответы

1.  .2.  .

Занятие 4 Поверхностный интеграл второго рода

Пример. Вычислить поток векторного поля через поверхность сферы, в направлении внешней нормали.

Решение. Поток векторного поля будем вычислять как поверхностный интеграл первого рода от скалярного поля , где- вектор единичной нормали к нашей сферической поверхности. Так как наше поле центрально-симметричное, вектораипараллельны. Модуль векторавезде, кроме начала координат, равен единице. Поэтому имеем

.

Пример. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность сферы

Решение. Поверхностный интеграл второго рода будем вычислять сведением его к двойным интегралам по проекциям нашей сферы на координатные плоскости:

Рассмотрим третий из них – по - проекциина плоскость:Внешняя нормаль верхней половины сферы, на которой выполняется равенство, образует с осьюострый угол. На нижней половине сферы выполняется равенство, и ее внешняя нормаль образует с осьютупой угол, поэтому двойной интеграл по проекциибудет иметь вид:Так как проекцияявляется кругом радиуса, переходим к полярной системе координат и в итоге получаем:

Так как три двойных интеграла по проекциям нашей сферы на координатные плоскости одинаковы, окончательным результатом будет

Пример. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхностьS конуса

Решение. Поверхностный интеграл от векторного поля будем вычислять как поверхностный интеграл первого рода от скалярного поля , где- вектор единичной нормали к конической поверхности. Сначала находим вектор нормали, где, затем нормируем его, разделив наПеремножив скалярно вектораи, записываем поверхностный интеграл первого рода. Проектируем коническую поверхность на плоскостьи переходим к двойному интегралу по кругу:

.

Пример. Вычислить поток векторного поля через внешнюю часть сферы, расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали.

Решение. Поверхностный интеграл от векторного поля будем вычислять как поверхностный интеграл первого рода от скалярного поля , где- вектор единичной нормали к нашей сферической поверхности, описываемой уравнением. Сначала находим вектор нормали, где, затем нормируем его, разделив на, и получим, очевидно,. Перемножив скалярно вектораи, записываем поверхностный интеграл первого рода. Проектируем сферическую поверхностьна плоскостьи переходим к двойному интегралу по четвертушке круга:.

.

Найдем теперь поток нашего векторного поля, вычислив поверхностный интеграл второго рода . Сведем его к трем двойным интегралам по проекциям сферической поверхностина координатные плоскости. Первый и третий интегралы взаимно уничтожаются, второй при вычислении дает, очевидно, четвертую часть площади круга