Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лабораторная работа 5 по ВМ

.docx
Скачиваний:
51
Добавлен:
13.10.2016
Размер:
301.36 Кб
Скачать

Московский Технический Университет

Связи и Информатики

Кафедра Информатики

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 5

«Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Отчет подготовил:

студент группы БСТ1401

Балашов И.М.

Вариант № 3

Москва 2015

Задание

  1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 1.5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

  • дифференциальное уравнение ;

  • интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

  • начальные условия x0, y0;

  • шаг интегрирования h0.

  1. Найти аналитическое решение заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

  2. Вычислить значения полученного решения на отрезке [a;b] с шагомh0.

  3. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h0 с помощью «ручного счета».

  4. Вычислить значения погрешностейдля, , .

  5. Составить схему алгоритма, написать программу интегрирования дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага и провести контрольное тестирование на примере, рассмотренном в п. 1.5.5.

  6. Получить решение«расчетом на ПК» с шагом h0 и E =10-4.

  7. Вычислить значения погрешностей,

  8. Графически проиллюстрировать решения.

Индивидуальное задание:

вар

Уравнение

x0

y0

h0

a

b

3

y' = x3 y2

0

-2

0.2

0

2

Аналитическое решение

Из начальных условий следует, что c = 2.

Аналитическое решение дифференциального уравнения:

Значения точного решения ОДУ

С использованием Matlab

>> f = @(x,y)x.^3*y.^2;

>> [x,y]=ode23(f,0:0.2:2,-2)

x =

0

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000

y =

-2.0000

-1.9985

-1.9750

-1.8786

-1.6605

-1.3344

-0.9825

-0.6843

-0.4661

-0.3177

-0.2205

>> [x,y]=ode45(f,0:0.2:2,-2)

x =

0

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000

y =

-2.0000

-1.9984

-1.9747

-1.8783

-1.6600

-1.3333

-0.9819

-0.6848

-0.4677

-0.3201

-0.2223

>> plot(x,y)

>> grid on

Ручной расчёт

xi

y(xi)

0

-2

0.2

-1.99840128

0.4

-1.97472354

0.6

-1.878287

0.8

-1.66002656

1

-1.33333333

1.2

-0.98193244

1.4

-0.68474391

1.6

-0.46763936

1.8

-0.32006145

2

-0.22222222

Численное решение заданного ДУ методом Эйлера

Найдем значения численного решение ОДУ методом Эйлера в точках отрезка [0;4] с шагом h=0.4. Для этого ДУ записывают в виде y’=f(x,y). Тогда общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид

xi

0

-2

0.2

-2

0.4

-1.9936

0.6

-1.94272716

0.8

-1.7796822

1

-1.45535388

1.2

-1.0317429

1.4

-0.66385398

1.6

-0.42199666

1.8

-0.27611256

2

-0.18718839

Значения погрешностей

xi

Ei

0

0

0.2

0.00159872

0.4

0.01887646

0.6

0.06444016

0.8

0.11965564

1

0.12202055

1.2

0.04981046

1.4

0.02088993

1.6

0.0456427

1.8

0.04394889

2

0.03503383

Расчёт на ПК

Код программы

#include<iostream>

#include <iomanip>

#include<conio.h>

#include<math.h>

using namespace std;

double f(double x, double y)

{

return x*x*x*y*y;

}

double r(double x0, double y0, double h, int m)

{

double k1, k2, k3, k4;

for(int j = 1; j <= m; j++)

{

k1 = f(x0,y0);

k2 = f(x0 + h/2, y0 + h*k1/2);

k3 = f(x0 + h/2, y0 + h*k2/2);

k4 = f(x0 + h, y0 + h*k3);

y0 = y0 + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);

x0 = x0 + h;

}

return y0;

}

void resh(double x0, double y0, double h0, double b, double E)

{

int m;

int n = (b - x0)/h0+1;

double h, x, y, y1;

for (int i = 1; i < n; i++)

{

h = h0;

m = 1;

y = r(x0,y0,h,m);

do

{

y1 = y;

h = h/2;

x = x0;

y = y0;

m = 2*m;

y = r(x0,y0,h,m);

} while (abs(y-y1)>E);

x0 = x0 + h0;

y0 = y;

cout << "x0 = "<< x0 <<"; "<<"y0 = "<<setprecision(8)<< y0 <<"; "<<"h = "<< h <<"; "<<"m = "<< m <<endl;

}

}

void main()

{

setlocale(0, "");

double x0, y0, h0, b, E;

int n;

do{

cout <<"Введите значениe x0:\n";

cin >> x0;

cout <<"Введите значениe y0:\n";

cin >> y0;

cout <<"Введите шаг h0:\n";

cin >> h0;

cout <<"Введите конец отрезка b:\n";

cin >> b;

cout <<"Введите погрешность E:\n";

cin >> E;

resh(x0, y0, h0, b, E);

cout <<endl<< "Для повторения нажмите '1'"<< endl;

}

while(getch()=='1');

}

Результат выполнения программы

Решения, полученные по составленной программе «расчетом на ПК»

xi

0

-2

0.2

-1.9984013

0.4

-1.9747234

0.6

-1.8782863

0.8

-1.6600234

1

-1.33329

1.2

-0.9819373

1.4

-0.6847472

1.6

-0.4676417

1.8

-0.3200631

2

-0.2222233

Значения погрешностей

xi

0

0

0.2

0.00000002

0.4

0.00000014

0.6

0.0000007

0.8

0.00000316

1

0.00004333

1.2

0.00000486

1.4

0.00000329

1.6

0.00000234

1.8

0.00000165

2

0.00000108

Все решения, полученные выше, сведем в табл. результатов 1.5-2:

xi

y(xi)

Ei

0

-2

-2

0

-2

0

0.2

-1.99840128

-2

0.00159872

-1.9984013

0.00000002

0.4

-1.97472354

-1.9936

0.01887646

-1.9747234

0.00000014

0.6

-1.878287

-1.94272716

0.06444016

-1.8782863

0.0000007

0.8

-1.66002656

-1.7796822

0.11965564

-1.6600234

0.00000316

1

-1.33333333

-1.45535388

0.12202055

-1.33329

0.00004333

1.2

-0.98193244

-1.0317429

0.04981046

-0.9819373

0.00000486

1.4

-0.68474391

-0.66385398

0.02088993

-0.6847472

0.00000329

1.6

-0.46763936

-0.42199666

0.0456427

-0.4676417

0.00000234

1.8

-0.32006145

-0.27611256

0.04394889

-0.3200631

0.00000165

2

-0.22222222

-0.18718839

0.03503383

-0.2222233

0.00000108

Графическая иллюстрация решений