x + 2δx +ω02x = Fm0 cosωt ,
где δ = 2rm - коэффициент затухания, ω02 = mk .
Уравнение вынуждающей силы в общем виде:
F = F0 cosωt .
Сравнивая с данным уравнением, определяем:
F0 =0,1 Н.
Амплитуда вынужденных колебаний находится по формуле:
A = F0 . m
(ω02 −ω2 )2 + 4δ2ω2
При резонансе:
ω = ωрез = 
ω02 − 2δ2 .
Подставляя ωрез в формулу для амплитуды, получаем:
Aрез = |
F0 |
= |
|
|
F0 |
|
|
|
= |
|
F0 |
. |
|
ω2 −δ2 |
r |
|
k |
|
r2 |
k |
|
||||||
2δm |
|
m |
− |
r |
− |
r2 |
|||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
m |
|
4m2 |
|
m |
|
4m2 |
|
||
Подставляя данные величины, находим: δ =0,5 с−1 , Aрез =2 см.
Ответ: 1) δ =0,5 с−1 ; 2) Aрез =2 см.
Занятие №29. Механические и электромагнитные вол- ны
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
Длина волны: |
|
|
|
|
|
|
λ = υT = |
υ |
, |
|
|
|
(1) |
|
ν |
|
|
|
|
|
где υ - фазовая частота; |
|
|
|
|
|
|
Т – период колебаний. |
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоской волны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ξ(x, t) = A cosω t |
− |
|
, |
(2) |
||
|
||||||
|
|
|
|
υ |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
ξ(x, t) = A cos(ωt − kx +ϕ0 ), |
(3) |
|||||
где ξ(x, t) - смещение точек среды с координатой x в момент времени t;
А– амплитуда волны;
ω- циклическая частота;
k = 2π/ λ = 2π/(υT) = ω/ υ - волновое число;
20
ϕ0 - начальная фаза колебаний в точке с координатой x=0..
Разность фаз колебаний двух любых точек волны:
ϕ = 2λπ l ,
где l - расстояние между точками. Фазовая скорость:
υ = ωk .
Групповая скорость:
u = ddkω.
Условие максимумов интерференционной картины:
max = 2m λ2 (m=0, 1, 2, …).
Условие минимумов интерференционной картины:
min = (2m +1) λ2 (m=0, 1, 2, …).
Уравнение сферической волны:
ξ(x, t) = Ar0 cos(ωt − kx + ϕ0 ),
где r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Уравнение стоячей волны:
ξ(x, t) = 2Acoskx cosωt ,
где x = ±m λ2 (m=0, 1, 2, …) – пучности;
x= ± m + 1 λ (m=0, 1, 2, …) – узлы.
2 2
Интенсивность волны (плотность потока энергии): I = dSdtdW .
Уровень интенсивности звука:
L = lg I , I0
где I0 =10−12 Вт/м² – интенсивность звука на пороге слышимости. Скорость звука в газе:
υ = 
γMRT ,
где γ = Cp = i + 2 . Cv i
Эффект Доплера в акустике:
ν = (υ± υпр)ν0 ,
υ υист
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
21
верхние знаки – сближение, нижние – удаление. |
|
|
||
Скорость распространения электромагнитных волн в среде: |
|
|||
|
υ = c = |
c . |
(15) |
|
|
|
n |
εμ |
|
Уравнение плоской электромагнитной волны: |
|
|
||
E = E0 cos(ωt − kx +ϕ); H = H0 cos(ωt − kx + ϕ). |
(16) |
|||
Объёмная плотность энергии электромагнитной волны: |
|
|||
ω = |
1 |
(ε0εE2 |
+μ0μH2 ) . |
(17) |
|
||||
2 |
|
|
|
|
Примеры решения задач
Пример №1. Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на расстоянии x1 =4 м и x2 =7 м. Период колебаний Т=20 мс и скорость υ распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз колебаний этих точек.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||
x1 =4 м |
Запишем формулу для разности фаз колебаний двух точек: |
||||||||
x2 =7 м |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
ϕ = λ l , |
|||||
Т=20мс= 2 10−2 с |
|
|
|
|
|||||
где l = x2 − x1 - расстояние между точками. |
|||||||||
υ=300 м/с |
|||||||||
Запишем формулу для длины волны: |
|||||||||
|
|||||||||
ϕ-? |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ = υT . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
Подставляя выражения для λ и l в формулу для |
ϕ, получаем: |
||||||||
|
ϕ = |
2π |
(x |
|
− x |
) . |
|
|
|
|
υT |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||
Произведя вычисления, находим:
ϕ = π.
Ответ: ϕ = π, точки колеблются в противофазе.
Пример №2. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью υ=10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии x1 =7 м и x2 =10 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз ϕ = 3π/ 5. Амплитуда волны А=5 см. Определите: 1) длину волны λ; 2) уравнение волны; 3) смещение ξ2 второй точки в момент времени t2 =2 с.
22
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||
υ=10 м/с |
Разность фаз: |
|
|
|
|
|
|
||
x1 =7 м |
|
|
|
2π |
|
|
|||
|
ϕ = |
|
|
|
(x2 − x1) . |
||||
x2 =10 м |
|
λ |
|
||||||
Отсюда λ: |
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ = 3π/ 5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2π |
|
|
|
|
|||
А=5 см=0,05 м |
λ = |
|
(x2 − x1) . |
||||||
|
|
ϕ |
|||||||
t2 =2 с |
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем уравнение плоской синусоидальной волны: |
|||||||||
|
|||||||||
1) λ-? |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2) ξ(x, t) -? |
ξ(x, t) = A cosω t − |
|
. |
||||||
υ
3)ξ2 -?
Вэтой формуле неизвестна только циклическая частота ω, найдём её по формуле:
ω = 2Tπ , T = λυ , ω = 2λπυ .
Смещение ξ2 второй точки определим, подставив в уравнение волны значения t2 и x2 :
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
ξ2 |
= A cosω t2 |
− |
|
|
. |
|
|||
|
|
υ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя данные величины, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
=5 см. |
|
|
λ=10 м; ξ(x, t) = 0,05cos 2πt − |
5 |
x , м; ξ2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1) λ=10 м; 2) |
|
2πt − |
π |
|
|
|
|
|
ξ2 =5 см. |
|
ξ(x, t) = 0,05cos |
5 |
x , м; 3) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример №3. Определите групповую скорость для частоты ν=800 Гц, если фазовая скорость задаётся выражением υ = a0 
ν + b , где a0 =24 м с−3 / 2 , b=100 Гц.
Дано:
ν=800 Гц
υ= a0 
ν + b a0 = 24 м с−3 / 2
b=100 Гц
u-?
Решение:
Групповая скорость по определению:
u = |
dω |
= 2π |
dν |
= |
dν |
. |
|||
dk |
dk |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
||
Запишем формулу для длины волны:
λ = |
υ |
= ν |
a0 |
ν |
ν + b . |
Найдём дифференциал:
|
1 |
= |
1,5ν + b |
dν. |
d |
|
a0 ν + b |
||
|
λ |
|
|
Подставляя это выражение в формулу для групповой скорости, получаем:
u = |
dν |
|
= dνa0 ν + b |
= a0 ν + b . |
|
|
1 |
(1,5ν + b)dν |
1,5ν + b |
||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
λ |
|
|
||
Подставляя численные значения, находим:
23
u=0,55 м/с.
Ответ: u=0,55 м/с.
Пример №4. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой ν=400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде υ=1 км/с. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2)
максимальное ослабление колебаний.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
ν=400 Гц |
Длина волны: |
|
|
|
υ=1 км/с |
|
|
|
υ |
|
|
|
λ = υT = ν . |
|
max -? |
|
|
||
min -? |
Разность хода при максимальном усилении колебаний: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
υ |
|
max = 2m |
2 |
, m=1, |
max = ν . |
Разность хода при максимальном ослаблении колебаний:
|
min = (2m |
+1) |
λ |
, m=0, |
min = |
λ |
= |
υ |
. |
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2ν |
|||
Вычисляя, получим: |
max =2,5 м; min =1,25 м. |
|
|
|
|
|
|||
Ответ: max =2,5 м; |
min =1,25 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример №5. Два динамика расположены на расстоянии d=2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определённой частоте, который регистрируется приёмником, находящимся на расстоянии l=3,5 м от центра динамиков. Если приёмник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние x=1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука υ=340 м/с. Определите частоту звука.
Дано: d=2,5 м l=3,5 м x=1,55 м
υ=340 м/с
ν-?
Решение:
Запишем формулу для частоты:
ν = λυ .
Скорость υ нам известна, остаётся найти длину волны. Воспользуемся условием минимумов для разности хода:
min |
= s |
2 |
−s |
= (2m +1) λ |
, m=0, |
min |
= λ |
|
1 |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Из рисунка следует, что:
s = |
l |
2 |
|
d 2 |
, s |
|
= |
l |
2 |
|
d 2 |
||
|
+ x − |
2 |
|
|
|
+ x + |
2 |
. |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, расчётная формула для частоты принимает вид:
ν = |
υ |
= |
|
υ |
= |
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
λ |
2(s |
|
−s ) |
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
d |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
+ x + |
|
|
|
− |
l |
|
+ x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведя по ней вычисления, получаем:
ν=175 Гц.
24
Ответ: ν=175 Гц.
Пример №6. Труба, длина которой l=1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость звука υ=340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.
Дано: |
Решение: |
|
υ=340 м/с |
Так как частота минимальна, то длина волны должна быть максимальной. |
|
l=1 м |
Таким образом: |
λ . |
|
|
|
ν0 -? |
l = |
|
|
|
4 |
Отсюда: |
λ = 4l . |
|
|
|
|
Длина волны:
λ= υT = υ .
ν0
Объединяя формулы, получаем:
4l = νυ0 , ν0 = 4υl .
Подставляя данные величины, находим: ν0 =85 Гц.
Ответ: ν0 =85 Гц.
Пример №7. Определите отношение интенсивностей звуков, если они отличаются по уровню громкости на 2 фон.
Дано: |
Решение: |
Г=2 фон |
|
|
|
Г=1 фон – единица уровня громкости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Для частоты ν=1000 Гц: Г=1 фон, если L=1 дБ. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
I1 |
-? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
I2 |
|
|
|
Г=2 фон, L=2 дБ=0,2 Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
L = lg |
I1 |
, L |
2 |
= lg |
I2 |
, |
L = L − L |
2 |
= lg |
I1 |
|
−lg |
I2 |
= lg |
I1I0 |
= lg |
I1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
I0 |
|
|
I0 |
1 |
|
|
I0 |
|
I0 |
|
I0I2 |
|
I2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = lg |
I1 |
= 0,2 Б, |
|
I1 |
=100,2 =1,58. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
I1 |
=1,58. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25
Пример №8. Средняя квадратичная скорость < υкв > молекул двухатомного газа при неко-
торых условиях составляет 480 м/с.Определите скорость υ распространения звука в газе при тех же условиях.
Дано: Решение:
< υкв > =480 м/с Запишем формулу для средней квадратичной скорости:
i=5 |
|
|
|
|
|
|
< υкв |
>= |
3RT . |
||
υ-? |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
||
Скорость распространения звука в газе: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
υ = |
γRT |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
где γ = |
Cp |
= |
i + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Cv |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмём отношение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
< υ |
> |
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
кв |
γ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
Выразим υ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
υ = |
i |
+ 2 < υкв |
> |
. |
|
||
|
|
|
|
|
i |
|
3 |
|
|||
Вычисляем и получаем: υ=328 м/с.
Ответ: υ=328 м/с.
Пример №9. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью υ1 =10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой ν1 =50 кГц, который распространяется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой ν2 =52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определите скорость движения второго катера.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ1 =10 м/с |
|
Частота сигнала при отражении: |
|
||||||||||||
ν1 =50 кГц= 5 104 Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
ν ′ = |
|
υ+ υ2 |
ν . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ− υ |
||||||
ν2 =52 кГц= 5,2 104 |
Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
υ=1,54 км/с=1540 м/с |
Частота сигнала, принятого первым катером: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ+ υ |
′ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
υ2 -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν2 |
= |
1 |
|
ν1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ− υ2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляем ν ′ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
= |
υ+ υ1 |
|
υ+ υ2 |
ν . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
υ− υ |
2 |
|
υ− υ |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Преобразуем это выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
υ+ υ2 = |
υ− υ1 |
ν2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
υ− υ |
2 |
υ+ υ |
ν |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Введём обозначение:
υ− υ1 ν2 = b .
υ+ υ1 ν1
26