Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина Л.О., Павлова А.П., Леванова Н.Г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 7
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Тольятти 2007
Содержание |
|
Занятие №26. Гармонические колебания и их характеристики.................................................................................... |
3 |
Основные формулы..................................................................................................................................................... |
3 |
Примеры решения задач............................................................................................................................................. |
4 |
Занятие №27. Гармонические осцилляторы................................................................................................................... |
7 |
Основные формулы..................................................................................................................................................... |
7 |
Примеры решения задач............................................................................................................................................. |
8 |
Занятие №28. Затухающие, вынужденные колебания. Сложение колебаний. .......................................................... |
13 |
Основные формулы................................................................................................................................................... |
13 |
Примеры решения задач........................................................................................................................................... |
15 |
Занятие №29. Механические и электромагнитные волны .......................................................................................... |
20 |
Основные формулы................................................................................................................................................... |
20 |
Примеры решения задач........................................................................................................................................... |
22 |
Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №7 ............................................................. |
27 |
2
Занятие №26. Гармонические колебания и их характе- ристики
Основные формулы |
|
Уравнение гармонических колебаний: |
|
x = Acos(ω0t +ϕ) , |
(1) |
где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; |
|
t - время; |
|
A - соответственно амплитуда; |
|
ω0 - угловая частота, |
|
ϕ - начальная фаза колебаний; |
|
(ω0t +ϕ) - фаза колебаний в момент t. |
|
Угловая частота колебаний: |
|
ω0 = 2πν , |
(2) |
или
ω0 = 2π /T ,
где ω0 и Т - частота и период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
v = x = −Aω0 sin(ω0t +ϕ) .
Ускорение при гармоническом колебании:
a = x = −Aω02 cos(ω0t +ϕ) .
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: x′′+ ω2o x = 0.
Кинетическая энергия материальной точки:
Wк = |
mυ2 |
= |
mA2ω2 sin2 |
(ω t + ϕ) |
. |
|
|
0 |
0 |
|
|||
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
W |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
(8) |
|
= −∫Fdx = −∫−mω02xdx = mω0x |
|
=mA ω0 cos (ω0t +ϕ) . |
||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:
E = |
1 |
mA2ω0 |
2 . |
(1) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
3
Примеры решения задач
Пример №1. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А=4 см и периодом Т=2 с. Напишите уравнение движения точки, если её движение начинается из положения х0 = 2 см.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
А=4 см= 4 10−2 м |
Запишем уравнение гармонических колебаний: |
|||
Т=2 с |
|
|
x = A cos(ω0t + ϕ) . |
|
х0 = 2 см= 2 10−2 м |
В начальный момент времени t=0 положение точки: |
|||
|
|
|
x0 |
= A cosϕ. |
х(t)-? |
|
|
||
Отсюда найдём начальную фазу: |
|
|
||
|
cosϕ = |
x0 |
= 0,5 , ϕ = |
π . |
|
A |
|||
|
|
|
3 |
|
Зная период, можем найти угловую частоту колебаний:
ω0 = 2Тπ = πс−1 .
Подставляя значения амплитуды, угловой частоты и начальной фазы в уравнение колебаний, получаем:
x= 0,04cos πt + π , м.
3
Ответ: |
|
πt + |
π |
|
x = 0,04cos |
3 |
, м. |
||
|
|
|
|
|
Пример №2. Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда А=15 см, максимальная скорость колеблющейся точки υmax =30 см/с, начальная фаза ϕ=10º.
Дано: |
Решение: |
А=15 см=0,15 м |
Запишем уравнение гармонических колебаний: |
|
||
υmax =30 см/с=0,3 м/с |
x = Acos(ω0t + ϕ) |
|
||
ϕ=10º |
Скорость по определению: υ = |
dx |
= −Aω sin(ω t +ϕ) . |
|
|
|
|||
x(t)-? |
|
dt |
0 |
0 |
|
|
|
||
Таким образом, максимальное значение скорости:
υmax = Aω0 .
Из этого выражения найдём циклическую частоту: ω0 = υAmax = 2c−1
Ответ: |
|
|
|
π |
||
x = 0,15cos 2t |
+ |
|
|
, м. |
||
18 |
||||||
|
|
|
|
|||
Пример №3. Материальная точка массой m=20 г совершает гармонические колебания по за-
кону |
|
π |
|
x = 0,1cos 4πt + |
4 |
, м. Определите полную энергию Е этой точки. |
|
|
|
|
|
4
Дано: |
|
|
|
Решение: |
m=20 г= 2 10−2 |
кг |
|
Полная энергия складывается из кинетической Т и потенциальной П |
|
|
|
π |
энергий: |
|
x = 0,1cos 4πt |
+ |
4 |
, м |
Е=Т+П. |
|
|
|
Кинетическая энергия по определению: |
|
Е-? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
mυ2 |
= |
|
mA2ω02 |
sin2 (ω t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Потенциальная энергия по определению: |
|
|||||||||
|
П = |
kx2 |
|
= |
mA2ω02 |
|
cos2 (ω t |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Таким образом полная энергия: |
|
|
|
|
|
|||||
|
mA2ω2 |
|
|
|
|
|
||||
E = |
|
|
0 |
=15,8 мДж, где ω |
||||||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Е=15,8 мДж.
+ϕ) .
+ϕ) .
=4π с−1 .
Пример №4. Точка массой m=10 г совершает гармонические колебания по закону
x= 0,1cos 4πt + π , м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинети-
4
ческой энергии.
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=10 г=10−2 кг |
|
|
|
Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде: |
|||||||||||||||
|
π |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = Acos(ω0t + ϕ) . |
|||||||
x = 0,1cos 4πt + |
|
|
Уравнение движения в нашей задаче: |
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1) Fmax -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πt + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0,1cos |
4 |
. |
||||||
2) Tmax -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая уравнения |
|
, находим: |
А=0,1 м, ω = 4π с−1 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скорость по определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
υ = |
dx |
= −Aω sin(ω t +ϕ) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ускорение по определению: |
|
|
υmax = |
|
Aω0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a = |
dυ |
= −Aω2 cos(ω t + ϕ) . a |
|
= Aω2 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила из второго закона Ньютона равна:
F=ma.
Максимальное значение силы найдём, подставив в формулу максимальное значение ускорения:
Fmax = mamax = mAω02 = 0,158 Н.
Кинетическая энергия равна:
T = m2υ2 .
5
Максимальное значение кинетической энергии:
|
mυ2 |
mA2ω2 |
|
|
T = |
max |
= |
0 |
= 7,89 мДж. |
|
|
|||
max |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
Ответ: 1) Fmax = 0,158 Н; 2) Tmax = 7,89 мДж.
Пример №5. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению
x= 0,02cos πt + π , м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) началь-
2
ную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчёта точка будет проходить через положение равновесия.
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
πt + |
π |
Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде: |
||||
x = 0,02cos |
, м |
x = Acos(ω0t + ϕ) . |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|||
|
Сравнивая его с нашим уравнением, находим: |
|
|||||
1) А-? 2) Т-? 3) ϕ-? |
|
||||||
4) υmax -? 5) amax -? 6) t-? |
А=0,02 м, ϕ = |
π |
, ω0 = πс |
−1 |
. |
||
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная ω0 , можем найти период колебаний:
Т= 2π = 2 с.
ω0
Скорость по определению:
|
|
dx |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
υ = |
|
|
= −0,02πsin |
πt + |
|
|
, υ |
max |
= 0,02π м/с. |
|||||||
dt |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ускорение по определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a = |
dυ |
= −0,02π |
2 |
|
πt + |
π |
|
|
|
= 0,02π |
2 |
|
||||
|
|
|
cos |
|
|
, a |
max |
|
м/с². |
|||||||
dt |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Положение равновесия – это нулевое смещение точки. Подставим х=0 в уравнение движе-
ния и найдём время: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πt + |
π |
= 0 , πt + |
π |
= (2m |
+1) |
π |
|
= |
mπ |
= m . |
||
0,02cos |
|
|
|
(m=0, 1, 2, 3, …), t |
|
||||||||
2 |
2 |
π |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 1) А=2 см; 2) Т=2 с; 3) ϕ = |
π |
; 4) υmax |
= 6,28 см/с; 5) amax =19,7 см/с²; 6) t=m с, где |
||||||||||
m=0, 1, 2, 3, … |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример №6. Материальная точка колеблется согласно уравнению x = A cosωt , где А=5 см и
ω = 12π с−1 . Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения –12 мН, потенциаль-
ная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу ωt .
6