2. Алгебра логики

Логика – одна из древнейших наук. Ее основателем считается древнегреческий мыслитель Аристотель (384 – 322гг. до н. э.), который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории понятие и суждение, подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления. Он подвергал анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел со стороны строения, структуры. Логика Аристотеля носит название формальной логики. Это название происходит из принципа: правильность рассуждения определяется только его логической формой или структурой и не зависит от конкретного содержания входящих в него высказываний.

Продолжение развития логики связано математической логикой. Основоположником математической логики считается великий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он попытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (1815-1864). Он вывел для логических построений особую алгебру (алгебру логики). В отличии от обычной логики, в ней символами обозначаются не числа, а высказывания. Алгебра логики (булева алгебра) изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.

Создание алгебры логики представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей часть первоначального предмета алгебры логики, и дальнейшим развитием математической логики (последняя четверть 19 в. – 1-я половина 20 в.) предмет алгебр логики значительно изменился. Основным предметом алгебры логики стали высказывания. Под высказыванием понимается имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

«6 есть простое число». Это высказыванием является истинным.

«4 + х = 6». Это уравнение не является высказыванием. Однако, придавая переменной х определенное числовое значение, будет высказывание.

«роза – цветок». Это высказывание является истинным. «все углы – прямые». Это высказывание является ложным. «3 + 5 = 8». Это высказывание является ложным.

Высказывание считается простым, если никакая его часть не является суждением. Сложное высказывание характеризуется тем, что оно образованно из нескольких высказываний с помощью определенных способов соединения.

Пример 2.

«Париж – столица Франции». Это высказывание простое.

«Неверно, что Париж – столица Англии». Это высказывание сложное.

Частные высказывания выражают конкретные факты. Общие высказывания характеризуют свойства групп объектов или явлений.

Пример 3.

«Луна - спутник Земли». Это частное высказывание.

«Всякий человек – млекопитающее». Это общее высказывание.

Рассуждение - это цепочка взаимосвязанных высказываний, фактов и общих положений, полученных из других высказываний по определенным правилам вывода.

Пример 4.

«Если треугольник равносторонний, то у него все углы равны между собой».

«Если король под шахом и ему некуда ходить, то – мат». 10