физика метод указания к решению задач модуль 6
.pdf
Тогда Α = I2ΔΦ = −I1I2 μ2π0l ln5.
Проверка: [А] = Дж = Гн А2 = В с А =Дж.
Ответ: Α = −I1I2 μ2π0l ln5.
Эта работа совершается за счет источника, который поддерживает ток I2 в контуре.
Пример № 4
В однородном магнитном поле с индукцией В равномерно вращается рамка, содержащая N витков, с частотой n. Площадь рамки S. Определить: мгновенное значение Э.Д.С. индукции,
соответствующее углу поворота рамки в 30°; среднее значение ЭДС индукции за время t = T/4.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
||||
S, |
Мгновенное значение Э.Д.С. индукции εi = − |
dψ |
|
|
; |
|||
В, |
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
α=30°, |
а потокосцепление: ψ=N Ф= =N B S cos(2πnt). Тогда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
t=Т/4 |
dψ/dt = 2πn N Ф sin(2πnt). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По условию задачи 2πnt=30°, а sin 30°=1/2, и Ei =πn N B S. Среднее же |
|||||||
Ei = ? |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
<Ei> =? |
значение ЭДС по определению равно: <Ei> = − |
ψ |
|
, |
t = 1/4n; 2πnt = 90°; Δψ = |
|||
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
||
=N B S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка: [ Ei] = 1В =1Вб/с = 1В.
Ответ: Ei = πn N B S; |
<Ei> = 4N B S n. |
Пример № 5
Имеется длинный прямой проводник с током I0. На расстояниях а и b от него (см. рис.) расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R. По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью V стержень-перемычку АВ.
Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, найти значение и направление индукционного тока в стержне.
Анализ:
Замкнутый контур находится в неоднородном магнитном поле и B ≠ const . Вследствие движения перемычки АВ с постоянной скоростью V в однородном магнитном поле, магнитный поток, пронизывающий контур, состоящий из сопротивления R, перемычки и двух параллельных проводов, является переменным. Для решения используем метод ДИ.
Решение:
Разобьем площадь контура на столь узкие полоски шириной dx, чтобы в пределах каждой полоски магнитное поле можно было считать однородным. По закону Био-Савара-Лапласа:
μI
Вx = 20πx0 , тогда элементарный магнитный поток сквозь узкую
полоску будет равен: dΦ = Β ϑ t dx , где В – индукция магнитного поля на расстоянии х от проводника с током I0;
ϑt – расстояние, на которое удалится перемычка с сопротивлением R;
х– изменяется в пределах от а до b, тогда
Ф= ∫dФ = ∫B*V * t *dx = μ02Iπ0Vt *ln ba .
По закону Фарадея: Ei = |
|
− |
dФ |
|
, а Εi = Ι1R , тогда Ι1 |
= |
1 dФ |
= |
1 |
|
μ0 I0V |
*ln b |
, так как dФ/dt > |
|||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dt |
|
R dt |
R 2π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
0, то индукционный ток I1 направлен так, что он создает поле B1 , ослабляющее поле B0 , т.е. |
||||||||||||||||||
ток течет по перемычке от точки А к точке В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проверка размерности: [I] = 1 |
Ф* А*м |
=1 |
Кл* А |
|
=1А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В*Ом* |
с |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Ом*м*с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: по перемычке ток течет от точки А к точке В.
Пример № 6
Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости. Индуктивность и сопротивление рамки равны L и R. Рамку повернули на угол 180° вокруг оси 001, отстоящей от проводника с током на расстояние b. Найти заряд, протекший в рамке.
Дано Решение^
а,
b,
L,
R
q = ?
По закону Фарадея для электромагнитной индукции:
|
Ei |
|
dq = − |
dФ |
|
|
Ei = -N dФ/dt = -dψ/dt; по закону Ома: I = R , имеем: |
R . |
|||||
|
||||||
Применив метод ДИ (как в предыдущих примерах), запишем выражение для dФ.
dΦ = Β a dx ;Β = |
|
μ0 I |
|
; получим, чтоdΦ = |
μ0 Iadx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2πx |
|
|
2πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Расстояние х меняется от х1 =(b-a) до х2 = (b+a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Проинтегрируем выражение dq = − |
μ0 Iadx . |
q = − |
1 |
μ0 Ia |
*lnx |
|
xx2 |
= − |
1 |
μ0 Ia |
*ln b +a . |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πxR |
|
|
R 2π |
|
|
1 |
|
R 2π |
b −a |
||||
Проверка размерности: [q] = 1Кл = |
Ф* А*м |
= 1Кл. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ом*м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: q = − |
1 |
|
μ0 Ia |
|
*ln |
b +a |
Кл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример № 7
К источнику тока с ЭДС E = 0,5 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние L между стержнями равно 20 см. стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция В = 1,5 Тл. По стержням под воздействием сил поля скользит со скоростью V = 1м/с прямолинейный провод АВ сопротивлением R = 0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало.
Определить: 1) ЭДС индукции;
2)силу F, действующую на провод со стороны поля;
3)силу тока в цепи;
4)мощностьР1, расходуемую на движение провода;
5)мощность Р2, расходуемую на нагревание провода;
6)мощность Р3, отдаваемую в цепь источником тока.
Дано:
E = 0,5 В;
АВ=L=20 см В = 1,5 Тл; V = 1м/с
R = 0,02 Ом
1)Ei = ?
2)FА=?
3)Iцепи.=?
4)P1 =?
5)P2 =?
6)P3 =?
Решение:
Контур с током находятся в однородном магнитном поле, но из-за того, что изменяется площадь контура, его, пронизывает переменный магнитный поток.
Выразим элементарный магнитный поток: dΦ = Β ds cos00 = ΒϑL dt .
По закону Фарадея для ЭМИ найдем ЭДС индукции:
Εi = − dΦ
dt = −ΒϑL , так как dФ/dt >0, то Ii – индукционный ток противонаправлен току батареиΙi = − ERi ;
По определению F |
|
|
= Ι Β 1 sinα , где α = |
π , а Ι |
Ц |
= Ι |
б |
+Ι |
i |
= |
E |
− |
Ei |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R |
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда F |
|
|
|
E |
|
E |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
= |
|
|
− |
|
|
ΒL = 3 Н; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= (Ι |
|
|
|
)= |
E |
|
E |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ι |
|
|
− Ι |
|
|
|
|
|
− |
|
=10 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Цепи |
|
|
б |
|
i |
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На движение провода расходуется мощность: P1 = Ι Εi = (Ι−Ιi )Εi =3Вт;
По определению на нагревание провода расходуется мощность:
P2 = Ι0 (Ε−Εi )= (Ιб −Ιi )(Ε−Εi ) =10 0,2=2Вт;
Pисх = ΙЦ Ε=10 0,5 = 5Вт; |
|
||||
Ответ: 1) |
|
Ei |
|
= 0,3B ; 2) FА=3Н; |
3) Iцепи =10A; |
|
|
||||
4) Р1 =3Вт; |
|
|
5)Р2 =2Вт; 6) Рисх. = 5Вт. |
||
Пример № 8
По двум гладким медным шинам, установленным под углом α к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой m. Сверху шины замкнуты на конденсатор емкости C. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка.
Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукции контура, пренебрежимо малы. Найти ускорение перемычки.
Дано: Решение:
С,
m,
В,
L,
αИзменение магнитного потока через контур обусловлено движением перемычки.
|
По закону Ома для неоднородного участка цепи ЭДС |
|
a = ? |
||
|
||
|
индукции Ei в любой момент времени равна разности потенциалов Δϕ на обкладках |
|
конденсатора. Ei = Δϕ. Но Δϕ = q/c. Следовательно, сила индукционного тока в контуре равна: |
||
I = dq |
=C |
d |
|
( ϕ) =C |
d(Ei ) |
. Так как магнитное поле однородное, то: |
|||||
dt |
dt |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ei |
= В |
ds |
|
= BC |
dx |
= BlV |
. Тогда: I = CB dV |
= CBa , где а - ускорение, с которым движется |
|||
|
|
dt |
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
||
перемычка массой m. На перемычку действуют: сила тяжести FТ = mg и сила Архимеда:
F = I 1 B =C B2 l 2 a , |
− |
− − |
||||
m a |
= m g+ F A , спроецируем это уравнение на направление |
|||||
A |
|
|
||||
движения перемычки: ma = mg sinα −C B2 l 2 a . |
||||||
Отсюда: a = |
mg *sinα |
|
|
|||
(m + CB2l 2 ) |
. |
|
|
|||
Ответ: a = |
|
mg *sinα |
2 |
|
||
(m + CB2l 2 ) |
м/с . |
|
||||
Пример № 9
В вертикальной плоскости подвешено на двух нитях медное кольцо (см. рис.). В него один раз вдвигается ненамагниченный стальной стержень, другой раз магнит. Влияет ли вдвижение стержня и магнита на положение кольца?
Ответ: Движение стального ненамагниченного стержня на положение кольца не влияет. При движении магнита в кольце согласно правилу Ленца возникает индукционный ток, поле которого препятствует перемещению магнита. Магнит в свою очередь с такой же силой действует на кольцо, и оно отклоняется от вертикального положения в ту сторону, в которую движется магнит.
Пример № 10
Сквозь отверстие катушки падает прямой магнит. С одинаковыми ли ускорениями он движется при замкнутой и разомкнутой обмотках катушки? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: При падении магнита сквозь катушку в ней возбуждается ЭДС индукции и возникает индукционный ток. Направление этого тока согласно правилу Ленца таково, что магнитное поле, создаваемое им, взаимодействуя с полем падающего магнита, препятствует его движению. Поэтому падение магнита при замкнутой обмотке катушки будет происходить с ускорением меньшим, чем ускорение свободного падения.
Пример № 11
Почему для обнаружения индукционного тока замкнутый проводник лучше брать в виде катушки, а не в виде прямолинейного провода?
Ответ: В катушке возникает большая Э.Д.С., т.к. Э.Д.С. индукции пропорциональна длине проводника, движущегося в магнитном поле, то есть пропорциональна числу витков катушки.
Пример № 12
На тороид с железным сердечником надето медное широкое кольцо. По виткам тороида пропускают постоянный ток, а кольцо поворачивают и перемещают произвольным образом, не снимая с тороида. Будет ли индуцирован ток в тороиде?
Ответ: Магнитное поле целиком сосредоточено в тороиде, и при любом положении кольца магнитный поток, пронизывающий его, изменяться не будет. Поэтому ток в кольце индуцироваться не будет.
Пример № 13
Концы сложенной вдвое проволоки присоединены к гальванометру. Проволока движется, пересекая линии индукции магнитного поля. Что показывает гальванометр?
Ответ: Гальванометр показывает 0, т.к. в двух частях проволоки возникают равные по величине, но противоположные по знаку Э.Д.С. индукции, которые взаимно компенсируются.
Пример № 14
Проволочная рамка вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, параллельной вектору индукции магнитного поля. Будет ли в ней возникать индукционный ток?
Ответ: Нет, не будет, т.к. при любом положении рамки поток магнитной индукции сквозь нее равен нулю.
Пример № 15
Объясните явление, описанное Э.Х. Ленцем: "Искра при открытии цепи является сильнее тогда, когда употребляют для закрытия длинную проволоку, нежели короткую, хотя самый ток в первом случае бывает слабее по причине худой проводимости длинной проволоки. Искра при открытии цепи будет сильнее, когда длинную проволоку наматывают на цилиндр в виде спирали, а еще сильнее, когда цилиндр будет железный".
Ответ: Индуктивность длинной проволоки больше, чем короткой; а индуктивность соленоида больше, чем прямого проводника. Наибольшая индуктивность у соленоида с ферромагнитным сердечником.
Пример № 16
К батарее аккумуляторов присоединены параллельно две цепи: одна содержит лампы накаливания, другая - большой электромагнит. Величина тока в обеих цепях одна и та же. При размыкании какой из цепей будет наблюдаться более сильная искра?
Ответ: Более сильная искра будет наблюдаться при размыкании электромагнита, у которого индуктивность больше, чем у ламп.
Поле в веществе
Занятие № 23
Тема: Электростатическое поле в диэлектрике
Основные формулы
1. Электроемкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком:
C =ε ε0 S / d |
(1) |
где ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками конденсатора; ε0 – электрическая постоянная;
d – расстояние между обкладками ( толщина слоя диэлектрика);
S– площадь обкладки конденсатора.
2.Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика, толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями εi (слоистый конденсатор, слои
C =ε0 S /(d1 / ε1 + d2 / ε2 +... + dn / εn ) |
(2) |
расположены параллельно обкладкам):
3.Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε :
C = 4πεε0 R |
(3) |
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее рассчитывается по формуле (3).
4.Электроёмкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлетриком с диэлектрической проницаемостью ε ):
C = 4πεε0 R1R2 /(R2 − R1 )
(4)
5.Электроёмкость циллиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлетриком с диэлектрической проницаемостью ε ) :
C= 2πεε0l / ln(R2 / R1 )
6.Теорема Гаусса для поля вектора D интегральной форме записи:
∫D dS = ∑Qi
S
где D – вектор электрического смещения,
Qi – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S ;
7. В дифференциальной форме записи:
divD = ρ, divE = 0
где ρ – объемная плотность стороннего (свободного) заряда в данной точке.
8. Теорема Гаусса для поля вектора Р:
∫P dS = −Qсвязи
S
где Р – вектор поляризованности диэлектрика;
Qсвяз – избыточный связанный заряд диэлектрика в объеме, охватываемом , поверхностью S.
9. В дифференциальной форме:
divP = −ρ′
10. Формула связи между Р и Е для изотропного диэлектрика:
P =αε0 E
где Р – вектор поляризованности диэлектрика;
Е – напряженность поля в диэлектрике;
α – диэлектрическая восприимчивость вещества ( α > 0).
11.Формула связи между D, Е ,Р :
K
D =εε0 E =ε0 E + P = ε0 (1 +α)E
12. Формула связи между ε и α:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
ε =1 +α |
(12) |
13.Граничные условия:
Если на границе раздела 2-х однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов
нет, то при переходе этой границы составляющие Eτ и Dn применяются непрерывно без скачка, а составляющие En и Dτ претерпевают скачок. На границе раздела 2-х диэлектриков линии этих векторов испытывают излом:
tgα2 tgα1 = (E2τ E2n ) (E1τ E1n )= ε2 ε1 |
(13) |
Методические указания к решению задач
При рассмотрении электростатического поля в диэлектриках удобнее использовать теорему Гаусса для поля вектора D:
|
|
G |
G |
N |
|
|
|
∫D dS |
= ∑qi |
(1) |
|
|
|
S |
|
i=1 |
|
|
K |
G G |
|
|
|
где |
D =ε0 E + P – вектор электрического смещения (вспомогательный вектор); |
(2) |
|||
N
∑qi – сумма свободных зарядов внутри поверхности S; P вектор поляризовонности.
i=1
Напряжённость поля (электрического) в диэлектрике является векторной (геометрической) суммой напряжённостей полей свободных – Е0 и связанных – Е зарядов.
Поверхностная плотность связанных зарядов:
σ ′ = Pn =ε0 (ε −1)En |
(3) |
где Рn и Еn – нормальные составляющие поляризованности и напряжённости. При расчете поля в диэлектриках целесообразно использовать 2-а метода.
Первый метод.
Основан на теореме Гаусса для поля вектора D. Сначала по теореме Гаусса для поля в диэлектрике (1) находят вектор D и его модуль, а затем по формуле связи между D и E
D =εε0 E |
(4) |
находят вектор Е и его модуль в диэлектрике, а затем по формуле связи между Е и ϕ можно рассчитать потенциал ϕ. Но этот метод иногда оказывается неприменим , тогда следует
применять 2-ой метод.
Второй метод.