Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
Основные понятия модуля
1.Понятие криволинейного интеграла 1 рода, заданного:
• в прямоугольных координатах;
• в полярных координатах
• параметрически.
2.Вычисление криволинейного интеграла 2 рода, заданного:
• в прямоугольных координатах;
• в полярных координатах
• параметрически.
3.Вычисление криволинейного интеграла 2 рода с помощью формулы Грина.
4.Геометрические и физические приложения криволинейного интеграла:
•Вычисление длины кривой;
•Вычисление массы кривой;
•Вычисление работы силы.
5.Понятие поверхностного интеграла 1 типа.
6.Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
7.Вычисление поверхностного интеграла 2 типа с помощью формулы Остроградского
Основные учебные элементы модуля
Учебные элементы
Уч. элемент № 1
Уч. элемент № 2
Уч. элемент № 3
Уч. элемент № 4
Название
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 1 рода.
Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 2 рода непосредственно и с использованием формулы Грина и формулы Остроградского
Применение вычисления криволинейных интегралов при решении геометрических и физических задач.
Умение составлять и решать геометрические и физические задачи с использованием криволинейного и поверхностного интеграла.
Требования к знаниям и умениям
Узнавание |
Уровень 1 |
Уч. элемент № 1, уч. элемент № 2 |
|
|
|
|
|
Понимание |
Уровень 2 |
Уч. элемент № 1, уч. элемент № 2 |
|
|
|
|
|
Решение типичных |
Уровень 3 |
Уч. элемент № 1, Уч. элемент № 2, |
|
задач |
Уч. элемент № 3 |
||
|
|||
|
|
|
|
Творчество |
Уровень 4 |
Уч. элемент № 1, Уч. элемент № 2, |
|
Уч. элемент № 3, Уч. элемент № 4 |
|||
|
|
||
|
|
|
18
Опорная схема
1. Криволинейный интеграл
Прямоугольная С.К. |
|
|
Функция, задана параметрически |
Полярная |
|||
|
|
|
|
|
|
|
С.К. |
|
|
|
|||||
Криволинейный интеграл первого рода ∫ f (x, y)dS |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
β |
|
∫ f (x, y(x)) 1+ y′2 dx. |
|
∫ f (ϕ (t),ψ (t), χ (t)) ϕ ′2 +ψ ′2 + χ ′2 dt |
|
||||
a |
|
|
|
|
|
α |
|
Криволинейный интеграл второго рода∫aGdrG |
|
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|||||
∫b [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) + R(x, y(x))]dx |
∫β [P(ϕt ,ψ t , χt )ϕt′ + Q(ϕt ,ψ t , χt )ψ t′ + R(ϕt ,ψ t , χt )χt′ ]dt |
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|||
2. Формула Грина |
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
Pdx + Qdy = |
∫∫ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
|
||
γ |
|
D |
∂x |
|
∂y |
|
|
3. Приложения криволинейного интеграла Длина кривой
криволинейный интеграл от единичной функции по кривой γ численно равен длине кривой: ∫dS = l
γ
Масса кривой
интеграл первого рода от функции |
f по кривой γ численно равен массе (полному заряду) |
кривой: ∫ f (x, y, z)dS =m , где f (x, y, z) |
- линейная плоскость вещества (или линейная |
γ |
|
плоскость распределения электрического заряда)
Вычисление работы силы
криволинейный интеграл второго рода можно истолковать как работу силы aGна криволинейном пути γ: A = ∫aGdrG, где a(x, y, z) - переменная сила
γ
4. Поверхностный интеграл Поверхностный интеграл первого типа
∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f [x, y, z( x, y )] 1 + (z′x )2 + (z′y )2 dxdy,
σDxy
где Dxy – проекция поверхности на плоскость хоу
19
Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
∫∫ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy
σ
Пусть поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) и она однозначно проектируется в область Dxy плоскости xoy.
Тогда ∫∫ R(x, y, z) dxdy = ± ∫∫ R[x, y, f (x, y)]dxdy , где знак (+) берётся, если
σ |
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos γ = cos |
N |
, oz |
> 0 |
на выбранной стороне поверхности σ, и знак (−) берётся, если cosγ < 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть поверхность σ задана уравнением y = ϕ(x, z) и она однозначно проектируется на плоскость xoz в область Dxz.
Тогда ∫∫ Q(x, y, z) dxdz = ± ∫∫ Q[x; ϕ(x, z); z]dxdz . Знак (+) берём, если
σ Dxz
на выбранной стороне поверхности σ, и знак (−) берём, если cosβ < 0.
|
|
|
|
|
|
cos β = cos |
N |
, oy |
> 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть поверхность σ задана уравнением z = f(x, y) и она однозначно проектируется в область Dzy плоскости zoy.
Тогда ∫∫ P(x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ψ(y, z); y, z]dydz ,
σ |
Dyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак (+) берём, если cos α = cos |
N |
, ox |
> 0 , знак (−) берём, если cosα < 0 на выбранной |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стороне поверхности σ.
Формула Остроградского для вычисления поверхностного интеграла второго типа
∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dxdz + R( x, y, z )dxdy = = ∫∫∫ (∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz )dxdydz |
|
σ |
T |
5. Приложение поверхностного интеграла
1. Вычисление массы
m = ∫∫ μdσ , где μ-плотность
σ
2. Координаты центра тяжести (центра масс) найдём по формулам
x c = |
M yz |
, y c = |
M |
xz |
, zc = |
M xy |
. |
mσ |
|
|
mσ |
||||
|
|
mσ |
|
||||
3. Вычисление объема
V= ∫∫ dxdydz
σ
20
5. Элементы теории поля Градиент скалярного поля
grad u(M ) = N = ∂∂ux (M )i + ∂∂uy (M )j + ∂∂uz (M )k
Оператор Гамильтона
|
|
= i |
∂ |
|
+ j |
∂ |
+ k |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
= {P, Q, R} |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вихрь или ротор вектора |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂R |
|
|
∂Q |
|
|
|
|
∂P |
|
∂R |
|
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
rot F |
= |
|
|
|
− |
|
|
i |
+ ( |
∂z |
− |
∂x |
)j |
+ |
|
− |
∂y |
k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
||||||||||
Циркуляцией вектора F {P, Q, R}
Γ = ∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .
L
Поток векторного поляF {P, Q, R}
Π = ∫∫ P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy .
σ
Дивергенция
div F = ∂∂Px + ∂∂Qy + ∂∂Rz
∫∫ F dσ
div |
|
(M ) = |
lim |
σ |
, |
|
|
|
F |
|
|
|
|||||
|
|
|
d(σ) → 0 |
|
V |
|
|
|
Формула Стокса |
|
|
|
|
||||
∫ F dl = ∫∫rot F dσ = ∫∫ |
cos α |
cos β |
cos γ |
|||||
∂x |
∂y |
∂z dσ. |
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
∂ |
∂ |
L |
σ |
|
σ |
P |
Q |
R |
||
21