Модуль 10. Кратные интегралы
Основные понятия модуля
|
Понятие модуля |
|
|
Обозначение, формула |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dxdy |
|
|
|
|
|
Двойной интеграл |
|
|
∫∫ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz |
|
|
|
||
|
Тройной интеграл |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные учебные элементы модуля |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учебные элементы |
|
|
Название |
|
обозначение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 1 |
|
Область интегрирования |
|
D, V |
|||||||
Уч. элемент № 2 |
|
Вычисление двойных интегралов в декартовых |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 3 |
|
Вычисление двойных интегралов в полярных |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 4 |
|
|
Масса плоской пластинки |
См. опорную схему |
|||||||
|
|
|
|
Приложение |
переменной плотности. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уч. элемент № 5 |
|
центр тяжести пластинки. |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
двойного |
|
|
|
|
|
|
|
Уч. элемент № 6 |
|
Моменты инерции пластинки |
См. опорную схему |
||||||||
|
интеграла |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уч. элемент № 7 |
|
Вычисление площадей |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 8 |
|
|
Вычисление объёмов |
См. опорную схему |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 9 |
|
Вычисление тройного интеграла в декартовых |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
Уч. элемент № 10 |
|
Вычисления тройного интеграла в цилиндрических |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уч. элемент № 11 |
|
Вычисление тройного интеграла в сферических |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
координатах |
|
|
|
|
|
|
|
Уч. элемент № 12 |
|
|
Центр тяжести тела |
См. опорную схему |
|||||||
Уч. элемент № 13 |
|
|
Масса тела |
|
См. опорную схему |
||||||
|
|
|
Приложение |
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 14 |
|
Момент инерции тела относительно |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
тройного |
осей координат |
|
|
|
|
||
|
|
|
интеграла |
|
|
|
|
||||
Уч. элемент № 15 |
|
Момент инерции тела относительно |
См. опорную схему |
||||||||
|
|
|
|
|
начала координат |
|
|
|
|||
Уч. элемент № 16 |
|
|
Объем тела |
|
См. опорную схему |
||||||
Требования к знаниям и умениям |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уровень |
|
название |
|
|
|
Учебные элементы |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уровень №1 |
|
узнавание |
|
|
|
уч.эл. №1-16 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уровень №2 |
|
понимание |
|
|
|
уч.эл. № 1-3,9-11 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
уровень №3 |
|
Решение типичных задач |
|
уч.эл. № 4-8, 12-16 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
уровень №4 |
творчество |
Задачи исследовательского характера |
Опорная схема
Двойной интеграл
Вычисление двойного интеграла по области D:
∫∫ f (x, y)dxdy = |
b |
y2 (x ) |
(x) ≤ y |
≤ y2 |
(x) |
∫ dx |
∫ f (x, y)dy , где a ≤ x ≤ b , y1 |
||||
D |
a y1(x) |
|
|
|
|
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах: |
|
||||
∫∫ f (x, y)dxdy = ϕ∫2dϕ r∫2 f (r cosϕ ,r sinϕ )rdr , |
|
|
|
||
D |
ϕ1 |
r1 |
|
|
|
где x = r cosϕ , |
y = r sinϕ , x2 + y 2 = r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ = r 2 |
||||
Приложение двойного интеграла
Масса плоской пластинки с поверхностной плотностью μ = μ (x, y)
m = ∫∫ μ (x, y)dxdy .
D
Координаты центра тяжести
xc = |
∫∫ xμ (x, y)dxdy |
; yc = |
∫∫ yμ (x, y)dxdy |
|
|
D |
D |
, |
|||
∫∫μ (x, y)dxdy |
∫∫μ (x, y)dxdy |
||||
|
|
|
|||
|
D |
|
D |
|
где ∫∫ xμ (x, y)dxdy - статический момент пластинки относительно оси OY; ∫∫ yμ (x, y)dxdy
|
D |
|
|
D |
|
- статический момент пластинки относительно оси OX. |
|||||
Координаты центра тяжести однородных пластинок xc и yc |
|||||
xc = |
|
∫∫ xdxdy |
, yc = |
∫∫ ydxdy |
|
|
D |
D |
, |
||
|
∫∫dxdy |
∫∫dxdy |
|||
|
|
|
|
||
|
|
D |
|
D |
|
где ∫∫dxdy - площадь области D.
D
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
z = f (x, y), а снизу - областью D
V = ∫∫ f (x, y)dxdy.
D
Площадь фигуры ограниченной областью D:
S = ∫∫ dxdy
D
Тройной интеграл
16
Вычисление тройного интеграла по области V:
∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz = ∫∫ dxdyz∫2 f (x, y,z)dz , где D –проекция области V на плоскость xoy , а
V |
|
D |
z1 |
z = z1 |
(x, y); z2 |
(x, y)- уравнения поверхностей, ограничивающих область сверху и снизу. |
|
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
|
b |
y2 |
( ) |
z2 |
(x ,y ) |
(x, y,z)dz , где |
∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz = ∫ dx |
∫ dy |
|
∫ f |
|||
V |
a |
y1 |
(x) |
z1(x ,y ) |
|
|
a < x < b
V : y1 (x) < y < y2 (x)
z1 (x, y) < z < z2 (x, y)
Вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах
|
|
x = r cosϕ |
|
∫∫∫ f ( x, y,z )dx dy dz = ∫∫∫ f ( r cosϕ ,r sinϕ ,z )r dr dϕ dz , где y = r sinϕ |
|||
V |
V |
|
|
z = z |
|||
|
|
||
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
∫∫∫ f ( x, y,z )dxdydz= ∫∫∫ f (r cosϕ sinθ ,r sinϕ sinθ ,r cosθ )r2 sinθdrdϕdθ , где
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
Приложение тройного интеграла |
|
|
|
|||||||
Центр тяжести тела |
|
|
|
|
|
|
||||
x = |
∫∫∫ xdxdydz |
, y = |
∫∫∫ ydxdydz |
|
z = |
∫∫∫ zdxdydz |
|
|||
V |
|
V |
|
, |
V |
. |
||||
∫∫∫dxdydz |
∫∫∫dxdydz |
∫∫∫dxdydz |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
|
V |
|
|
V |
|
|||
Масса тела
m = ∫∫∫ ρ (x, y,z)dxdydz , где ρ = ρ (x, y,z)- плотность
V
Момент инерции тела относительно осей координат |
||
Iox = ∫∫∫ (y 2 + z 2 )dxdydz , |
Ioy = ∫∫∫ (x2 + z 2 )dxdydz , |
Ioz = ∫∫∫ (y 2 + x2 )dxdydz |
V |
V |
V |
x = r cosϕ sinθy = r sinϕ sinθz = r cosϕ
Момент инерции тела относительно начала координат
Io = ∫∫∫(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
V
Объем тела
V = ∫∫∫ dxdydz
V
17