Модуль 9. Дифференциальные уравнения
Основные понятия модуля |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Обозначение, формула |
|
|
|
|
|
Понятие модуля |
|
|
|
|||||
|
Дифференциальное уравнение |
|
F (x, y, y') = 0 |
|
|
|
|||
|
первого порядка |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение |
|
F( x, y, y' , y'' ) = 0 |
|
|
|
|||
|
второго порядка |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Основные учебные элементы модуля |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учебные |
|
Название |
|
|
обозначение |
||||
элементы |
|
|
|
|
формула |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 1 |
|
ДУ первого порядка с разделяющимися |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
переменными |
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 2 |
|
Однородное ДУ первого порядка |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 3 |
|
ДУ первого порядка в полных дифференциалах |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 4 |
|
Линейное ДУ первого порядка |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
схему |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уч. элемент № 5 |
|
Уравнение Бернулли |
|
|
См опорную |
||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 6 |
|
Уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
порядка |
|
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 7 |
|
Однородное линейное уравнение ΙΙ порядка |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 8 |
|
Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 9 |
|
Метод Эйлера для решения неоднородное |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
линейное уравнение ІІ порядка |
схему |
||||
Уч. элемент № 10 |
|
Метод неопределенных коэффициентов для |
См опорную |
||||||
|
|
|
|
решения неоднородное линейное уравнение ІІ |
схему |
||||
|
|
|
|
порядка |
|
|
|
|
|
Требования к знаниям и умениям |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уровень |
|
название |
|
Учебные элементы |
|
|
|
||
уровень №1 |
|
узнавание |
|
уч.эл. №1-10 |
|
|
|
||
уровень №2 |
|
понимание |
|
уч.эл. № 1,2,4,6,7 |
|
|
|
||
уровень №3 |
|
Решение типичных задач |
|
уч.эл. № 1-10 |
|
|
|
||
уровень №4 |
|
творчество |
|
Задачи исследовательского характера |
|
||||
10
Опорная схема
Типы дифференциальных уравнений I порядка
|
Тип |
уравнен |
ия |
Стандартная форма записи |
|
Особенности |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
разделяющимися |
переменными |
y' = f1( x ) f2 ( y ) |
( y )dy = |
При дифференциалах – произведения |
|||
|
функций, зависящих одна |
||||||||
|
|
|
|
ϕ1( x )ϕ 2 ( y )dx + +ϕ1( x )ϕ 2 |
функций, зависящих одна |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
от x, другая – от y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть – произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от x, другая – от y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Однородное |
|
|
y |
|
Правая часть – однородная функция |
||
|
|
|
y' = f |
|
|
|
P( x, y ),Q( x, y ) - однородные |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P( x, y ) dx + +Q( x, y ) dy = 0 |
||||||
|
|
|
|
x |
|
нулевого порядка |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции одинакового порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полныхВ |
дифференци |
алах |
P( x, y ) dx + +Q( x, y ) dy |
= 0 |
∂P |
≡ ∂Q |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y'+ P( x )y = Q( x ) |
|
Первой степени относительно |
|||
|
|
|
|
|
y и y x ' |
||||
|
|
Линейное |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x'+ P( y )x = Q( y ) |
|
Первой степени относительно |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x и x y ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бернулли |
|
y'+ P( x ) y = Q( x ) yn |
|
Отличается от линейного |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
правой частью |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод решения
|
|
ϕ1( x ) |
ϕ2 ( y ) |
|||
|
∫ |
|
ϕ ( x |
dx + ϕ |
2 |
( y ) dy |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∫ |
|
dy |
= ∫ f1( x )dx + c |
||
|
f2( y ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= u( x ) |
|
|
||
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
y = u x, y' = u' x + u |
|||||
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy = C |
|||||
|
X |
|
|
Y0 |
|
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
∫ P(x, y)dx + ∫ Q(x0 , y)dy = C |
|||||
|
X |
|
|
Y0 |
|
|
|
y = u( x ) v( x ), |
|||||
|
y' = u' v + u v' |
|
||||
|
x = u( y ) v( y ), |
|||||
|
x' = u' v + u v′ |
|
||||
Аналогично линейным |
||||||
11
Типы дифференциальных уравнений II порядка
Типы уравнений ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка
№ |
Тип уравнения |
Особенности |
|
|
|
Разрешено относительно |
|
1 |
y' ' = f (x) |
второй производной. |
|
Правая часть зависит |
|||
|
|
||
|
|
только от х |
|
|
|
|
|
2 |
F (x, y' , y' ' ) = 0 |
Отсутствует явно функция |
|
у |
|||
|
|
|
|
3 |
F(y, y' , y' ' ) = 0 |
Отсутствует явно |
|
независимая переменная х |
|||
|
|
|
Метод решения
Последовательное интегрирование:
y' = ∫ f (x)dx + C1 ,
y = ∫ [∫ f (x)dx + C1 ]dx + C2
Подстановка: y' = P(x) ,
y' = P' (x)
Подстановка: y' = P(y) ,
y' ' = P' (y) P(y)
Однородное линейное уравнение ΙΙ порядка y''+ Py'+ gy = 0
Общее решение линейного однородного уравнения ΙΙ порядка есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы: y = c1 y1 + c2 y2 .
Для отыскания фундаментальной системы решений составляют так называемое характеристическое уравнение k 2 + Pk + g = 0 .
Виды фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения
Дискриминант |
Корни |
Фундаментальная |
||
характеристического |
характеристического |
система частных |
||
уравнения |
уравнения |
решений |
||
|
|
|
|
|
|
вещественные |
y |
= ek1x |
|
|
|
|||
D > 0 |
различные |
1 |
|
|
y2 |
= ek2 x |
|||
|
k1 ≠ k2 |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
вещественные |
y |
= ekx |
|
|
|
|||
D = 0 |
равные |
1 |
|
|
y2 |
= xekx |
|||
|
k1 = k2 = k |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
D < 0 |
Комплексные |
y1 = eαx cos βx |
||
k1, 2 = α ± β i |
y2 |
= eαx sin βx |
||
|
||||
Общее решение
y = c1ek 1 x + c2 ek 2 x
y = ek x (c1 + c2 x)
y= eαx ( c1 cos βx +
+c2 sin βx )
12
Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка y''+ py'+gy = f (x), y = y + y - общее решение линейного неоднородного уравнения, Метод Эйлера.
y = c1 y1 + c2 y2 -общее решения соответствующего однородного уравнения, y''+ py'+gy = 0 .
y* = c1 (x)y1 + c2 (x)y2 - частного решения данного неоднородного уравнения:,
где c1 (x), c2 (x) - теперь уже функции переменной х, где c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
c1' (x) y1 + c2' (x) y2 = 0, |
|||
c ' (x) y'+c |
' (x) y |
' = f (x).. |
|
1 |
2 |
2 |
|
Метод неопределенных коэффициентов, для решения уравнения y''+ py + gy = f (x),
укоторых правая часть имеет вид f (x) = edx [Px (x)cos βx + Qm (x)sin β (x)]., где
α± β i - основной параметр уравнения, а y* = edx [M n (x)cos βx + Nn (x)sin βx]xr где Mn (x), Nn (x) - многочлены степени n = max{k, m}, записанные пока с
неопределенными коэффициентами, r - кратность корня характеристического уравнения, равного параметру α ± β i .
13
|
Правая часть |
Основной |
Сравнение параметра с |
Конструкция |
|
||||||
|
корнями |
|
|
|
|||||||
N |
уравнения f (x) |
параметр |
|
характеристического |
частного решения |
||||||
|
|
α ± βi |
|
уравнения |
у* |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
α = β = 0 |
|
0 не является корнем |
B |
|
|
|
|
||
1 |
А |
|
0 однократный корень |
Bx |
|
|
|
||||
α ± β i = 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 двукратный корень |
Bx2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 не является корнем |
M n (x) |
|
|
||||
|
|
α = β = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Pn (x) |
0 однократный корень |
M n (x) x |
|
|||||||
α ± β i = 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 двукратный корень |
M n (x) x 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
β = 0 |
|
α не является корнем |
Beαx |
|
|
|
|||
3 |
Aeαx |
|
α однократный корень |
Beαx x |
|
|
|
||||
α ± β i |
= α |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
α двукратный корень |
Beαx x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
α не является корнем |
M n (x)eαx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
Pn (x)eαx |
|
|
α однократный корень |
M n (x)eαx x |
|
|||||
|
|
β = 0 |
= α |
α двукратный корень |
M n (x)eαx x 2 |
|
|||||
|
|
α ± β i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A cos βx + |
α = 0; |
|
± β i |
не являются |
C cos βx + D sin βx |
|||||
5 |
|
корнями |
|
|
|||||||
+ B sin βx |
β ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
± β i |
- корни |
C cos βx |
+ |
D sin βx |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
||
|
Pk (x)cos βx + |
|
|
± β i |
не являются |
M n (x)cos βx + Nn (x)sin βx |
|||||
6 |
α = 0; |
|
корнями |
|
|
n = max{k;m} |
|
||||
+ Qm (x)sin βx |
β ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± β i |
- корни |
( M n |
(x)cos βx + |
|
||||||
|
|
|
|
+ Nn |
(x)sin βx )x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Acos βx + |
|
|
α ± β i |
не являются |
|
|
|
|
αx |
|
7 |
α ± β i |
корнями |
|
|
(C cos βx + D sin βx)e |
||||||
+ B sin βx )eαx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
α ± β i |
- корни |
C cos βx |
+ |
D sin βx eαx x |
||||
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|||
|
( Pk (x)cos βx + |
|
|
α ± β i |
не являются |
( M n cos βx + |
|
||||
8 |
α ± β i |
корнями |
|
|
+ N n sin βx )eαx |
|
|||||
+ Qm (x)sin βx )eαx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
α ± β i |
- корни |
(M n cos βx + N n sin βx)eαx x |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формы правой части f (x)) и соответствующие решения уравнения у*
14