e)Силы, действующие на заряженную частицу, следует спроецировать на оси, направленные вдоль линий индукции магнитного поля и перпендикулярно им. Затем необходимо составить основное уравнение динамики материальной точки для проекций на каждую ось.

f)Записав уравнения динамики, нужно подставить в них выражение сил, используя для этого формулы электростатики и формулу силы Лоренца. В большинстве задач после такой подстановки получаются уравнения, из которых искомую величину определяют непосредственно, в ряде случаев к уравнениям динамики приходится добавлять формулы кинематики.

Примеры решения задач

Пример № 1

Определить индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода L провода в точке A, удаленной от отрезка на расстояние r0. Сила тока,

текущего по проводу, I, углыφ1 и φ 2 заданы.

Сделаем рисунок

l - длина отрезка провода с током; dl - длина элемента проводника;

dl - вектор равный по модулю и совпадающий по направлению с током;

α - угол между векторами dl и rG.

r0- длина перпендикуляра, опущенного из точки А на отрезок проводника с током;

dα - приращение угла при перемещении по проводнику с током на расстояние dl.

Решение

Эту задачу решим, применяя закон Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме, метод дифференцирования и интегрирования и принцип cуперпозиции. Разобьем отрезок провода на элементарные отрезки длиной dl, для каждого из элементарных отрезков dl в искомой точке А найдем значение dB (согласно закону Био-Савара-Лапласа), а затем по принципу суперпозиции рассчитаем ВА.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа в интегральной форме: dB= (μ0Idlsinα) (1)

41

Рассмотрим ДСЕ. rddlα = cosα . Из ДОА: rr0 = cosα .

Тогда: dl = r 2 dα . Подставив выражение dl в формулу (1), получаем: r0

При перемещении по отрезку уголα меняется отφ1 доφ 2 , тогда согласно принципу суперпозиции:

Пример № 2

По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток плотности j. Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника. Построить график зависимости B = f (r).

Дано: Рисунок:

R r1<R r2>R j

B1-?

B2-?

Решение:

Проводник не тонкий, тогда закон Био-Савара-Лапласа неприменим. Однако поле обладает

симметрией, поэтому применим теорему о циркуляции B . Рассмотрим два случая:

42

1. В качестве замкнутого контура возьмем окружность радиуса r1, r1<R. Тогда модуль вектора магнитной индукции В1 в точке А1, расположенной на расстоянии r1 от оси проводника равен:

I = jПr12 и B1 = 12 μ 0 jr1 .

2. Если точку А2 возьмем вне проводника, а в качестве замкнутого контура возьмем

График зависимости В=f (r)имеет вид:

Пример № 3

По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R течет ток силой I. Найти индукцию магнитного поля на оси кругового тока: 1) на расстоянии z от плоскости кольца; 2) в центре кольца.

Дано: Сделаем рисунок:

I

R z

BА-?

Bо-?

Решение

1) Применим метод ДИ. Разобьем кольцо на отрезки длиной dl. Согласно закону Био-Савара- Лапласа определим индукцию магнитного поля dB, созданного элементом кольца в точке А.

Вектор dBG от элемента тока I dlG, находящегося в точке Д, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы dl и r .

От всех элементов тока кольца будет образовываться конус векторов

вектор B в точке А будет направлен вдоль оси z. Тогда: dBz = dB cosα , dB = μ 0 Jdl ;

43

Угол между dlG и радиусом-вектором r равенП2 , т.е. sinП2 =1.

Пример 4

Тонкая лента шириной l свернута в трубку радиусом R. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток силой I. Определить индукцию магнитного поля В на оси трубки в двух точках:

1)В средней точке (1);

2)В точке, совпадающей с концом трубки (2).

Дано: Сделаем рисунок:

I

R l

B1-?

B2-?

Решение

Проводник нельзя считать тонким, а теорема о циркуляции неприменима из-за отсутствия симметрии поля. Для расчета применим метод ДИ. Разобьем трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать тонким круговым проводником. Пусть ширина кольца - dx, а расстояние от кольца до точки (1) - x. Сделаем рисунок:

Тогда элементарный ток, текущий по этому узкому кольцу равен:

44

За переменную интегрирования удобно выбрать угол α , под которым виден радиус каждого

При перемещении по трубке от точки (0) до точки (1) угол α меняется в следующих пределах:

Пример № 5

Два бесконечно длинных, параллельных провода, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии r1 = 5 см и от другого на расстоянии r2 = 12 см.

45

cosα = r12 + r2 2 − d 2 ; cosα =0,576 2r1r2

Расчёт: B = 286 мкТл; Ответ: B = 286 мкТл.

Пример № 6

По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии r = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи силой I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами для случаев:

1)провода параллельны, токи текут в одном направлении (см. рис. № 1)

2)провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (см. рис. № 2)

3)провода перпендикулярны (см. рис. № 3)

46

47

Пример № 7

По проводнику согнутому в виде квадратной рамки со стороной a = 10 см, течёт ток силой I = 5 A. Определить магнитную индукцию B поля в точке, равноудалённой от вершины квадрата на расстояние, равное длине его стороны.

Из соображений симметрии абсолютные значения всех четырёх индукции

одинаковы (поэтому на рисунке изображён только один вектор B1 . В соответствии с правилами

буравчика вектор B перпендикулярен плоскости ADC). Результирующий вектор B будет направлен вдоль оси ОО” и равен сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е.

B = 4B1 cosα .

B = 2μ0 I / 3πa (5)

B = 13,3мкТл.

Ответ: B = 13,3мкТл.

48

Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №5

1. Напряжение на шинах электростанции равно 6,6 кВ. Подстанция находится на расстоянии

сечение проводника за время от t1 = 2 сек до t2 =6 сек? 2) При какой силе постоянного тока через поперечное сечение проводника за это же время проходит такое же количество электричества?

49