k = (U − U0 )/ t = 0,1 В/с;

Расчет: Q=20 Кл; Ответ: Q=20 Кл.

Пример № 8

Потенциометр с сопротивлением R=100 Ом подключен к источнику тока, ЭДС E =150В и внутреннее сопротивление r=50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивление RВ=200 Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциометров между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Подставив I1 и R1 в (1) найдем U1: U1= 46,9 В; Разность потенциалов между А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления

Ответ: Δφ=50В; U1 = 46,9 В

Пример № 9

В цепи (см рисунок) амперметр показывает силу тока I=1,5 A. Сила тока через резистор сопротивления R1 равна I1=0,5A. Сопротивления R2=2 Ом; R3= 6 Ом. Определить сопротивление R1, а так же силы токов I2 и I3.

11

Дано:

I=1,5 A

I1=0,5A

R2=2 Ом

R3= 6 Ом

R1 -? I2 -? I3 -?

Ответ: R1 = 3 Ом; I2 = 0,75A; I3 = 0,25A.

Пример 10

Определить сопротивление в цепи уличного освещения, которое состоит из достаточно большого числа одинаковых ячеек, состоящих из сопротивлений подводящих проводов и сопротивления лампы, соединенных как показано на рисунке.

Rл - сопротивление лампы, l - длина подводящих проводов между двумя столбами, ρ - удельное сопротивление подводящих проводов, S - площадь поперечного сечения проводов.

Дано:

L p

S

Rл

R = ?

Анализ:

12

Т. к. цепь бесконечно длинная (см. рис.1), то, отделив одно звено, мы практически не изменим общее сопротивление всей цепи. Обозначим его - R. Составим эквивалентную схему нового соединения, общее сопротивление которого равно R (рис.2).

Сопротивление первой лампочки Rл и R общее соединены параллельно, заменим их одним сопротивлением

Rпар = Rл R + R (1).

Rл

Получим последовательное соединение трех резисторов, сопротивления которых известны,

Пример 11

Можно ли с помощью вольтметра измерить ЭДС источника?

Решение:

Опыт ставится следующим образом: к клеммам источника ЭДС не слишком малого внутреннего сопротивления поочередно подсоединяются два вольтметра (оба вольтметра исправные). Однако показания вольтметров оказываются разными. Почему это происходит и что измеряют вольтметры?

Для решения рассмотрим электрическую цепь, в которой производятся измерения (рис.1). Следует отметить, что вольтметр всегда измеряет падение напряжения на себе самом (или, что тоже самое, разность потенциалов между точками, к которым он подключен).

13

Запишем закон Ома для полной замкнутой цепи: Е=I(r+ Rv),где Rv - сопротивление вольтметра.

Вольтметр показывает следующее падение напряжения:

источников ЭДС с нулевым внутренним сопротивлением, то всегда U < E. Поэтому ЭДС источника нельзя измерить вольтметром. Неравенство между U и E тем больше, чем меньше Rv.

В нашей экспериментальной задаче показания выше будут у того вольтметра, у которого сопротивление больше. Особенно наглядна будет разница в показаниях вольтметров, если

Rv1 = 5r, а Rv2 = 10 r.

При составлении реальной электрической цепи основное правило заключается в том, что измерительные приборы не должны менять режима ее работы. Это возможно, если сопротивление амперметра RA значительно меньше сопротивления цепи, а сопротивление вольтметра Rv значительно превышает сопротивление участка цепи, к которому он подключен. Это общее определение, которое дается во всех учебных пособиях. Но даже, если сопротивление вольтметра Rv в десять раз превышает величину измеряемого сопротивления R, заранее нельзя сказать, достаточно ли этого. Рассмотрим задачу об определении величины неизвестного сопротивления с помощью вольтметра и амперметра.

Пример 12

Можно ли найти величину неизвестного сопротивления R, не используя мостик Уитстона, а располагая лишь вольтметром и амперметром с неизвестными сопротивлениями?

Решение:

Для определения R необходимо провести измерения при двух разных подключениях вольтметра. Рассмотрим две схемы соединения (рис.1 и 2):

14

Поскольку в опыте выполняется условие, что RA<Rv и Rv>R, а разность потенциалов между точками А и В одинакова в обоих случаях и равна U, можно записать соотношения:

Заметим, что если RA = 0,1R, а Rv = 10R, то, пользуясь любой из приведенных на рис. 1 и 2 электрических схем, искомое сопротивление R можно найти с точностью только около 10%.

Занятие № 18. Расчет разветвленных цепей. Правила Кирхгофа

Основные формулы:

Правила Кирхгофа:

Методика решения задач с применением правил Кирхгофа

1.Произвольно указать направление токов во всех ветвях разветвленной цепи.

2.Произвольно выбрать направление обхода каждого из контуров и строго его придерживаться, произведение Ii Ri считать положительным, если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода, и отрицательным, если наоборот. ЭДС, действующей в направлении обхода контура, приписывать знак "+", против – "-".

3.По первому правилу Кирхгофа составить (n - 1) независимых уравнений, где n – число узлов в разветвленной цепи.

4.По второму правилу Кирхгофа составить столько уравнений, сколько независимых контуров в разветвленной цепи.

5.Проверить, чтобы в конечной системе уравнений, составленных по первому и второму правилам Кирхгофа, число уравнений совпадало с числом неизвестных.

6.Решить систему m уравнений с m неизвестными, получить искомые величины.

Если в результате расчетов получается отрицательная величина искомого тока, то его истинное направление противоположно выбранному.

Задачи типа (II), т. е. задачи на расчет самих элементов электрических цепей, решаются чаще всего с применением дифференциальных форм законов постоянного тока совместно с

15

некоторыми теоремами электростатики (таких как теорема Гаусса). Часто при решении подобных задач помогают соображения симметрии. Метод ДИ в таких задачах следует применять с осторожностью, каждый раз проверяя, допускает ли искомая величина интегрирование (сложение). Так, общее сопротивление участка R будет являться интегралом (суммой) от элементарных сопротивлений dR только в том случае, если они соединены последовательно. Всегда корректным (но не всегда простейшим) способом решения таких задач является определение общего сопротивления R как коэффициента пропорциональности между током и разностью потенциалов. Для этого необходимо задаться произвольной разностью потенциалов, найти создаваемый ею ток, а затем найти R как частное. При правильном решении должна остаться величина, зависящая только от геометрии и удельного сопротивления проводника.

Примеры решения задач

Пример № 1

Определить силу токов, текущих в ветвях, если ε1 = 1 В, ε2 = 2 В, ε3 = 3 В, r1 = 1 Ом,

r2 = 0,5 Ом, r3 = 13 Ом, R4 = 1 Ом, R5 = 13 Ом.

Дано:

ε1 = 1 В ε2 = 2 В ε3 = 3 В r1 = 1 Ом

r2 = 0,5 Ом r3 = 13 Ом

R4 = 1 Ом

R5 = 13 Ом

I1 - ?; I2 - ?; I3 - ?

Решение:

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

16

1)Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях (см. рис.). Если направление выбрано неверно, то в окончательном решении величина этого тока получиться отрицательной, а если верно – то положительной.

2)Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: т. А и т. С.

Для узла А: I1 + I2 + I3 = 0

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа, оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, ACDA, ABCDA.

Рассмотрим контур ABCA: ε1 и ε2; r1, r2, R4; I1 и I2.

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условноположительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направление ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными. Следовательно: (если выбрать направление обхода против часовой стрелки)

ε1 − ε 2 = I1 (r1 + R4 ) − I2 r2 (1).

Для контура ACDA: (направление обхода против часовой стрелки)

ε 2 − ε 3 = I2 r2 − I3 (r3 + R5 ) (2).

Система уравнений (1) и (2) являются замкнутой, решая эту систему находим:

I1 = − 85 A ; I2 = − 12 A ; I3 = 89 A .

Токи I1 и I2 получились отрицательными, это значит, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I3 положителен, следовательно, его направление выбрано правильно.

Ответ: I1 = − 85 A ; I2 = − 12 A ; I3 = 89 A .

Пример № 2

В схеме представленной на рисунке ε1 = 2,1 В, ε2 = 1,9 В, R1 = 45 Ом, R2 = 10 Ом,

R3 = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

17

Недостающие три уравнения получим по второму правилу Кирхгофа. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый входила бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее используемых контуров.

Соответственно для контуров: AR1BR2A; AR1BR3A; AR3BR4A имеем:

Поскольку нужно найти только 2 тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

I1 + I2 + I3 − I4 = 0

2I1 − 4I2 + 0 + 0 = 6

2I1 + 0 − 4I3 + 0 = 10

0 + 0 + 4I3 + 2I4 = 0

Искомые значения токов найдем из выражений: I2 = I2 и I3 = I3 , где - определитель

системы уравнений.

I2 и I3 – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, составленных из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений:

20