Лабораторная работа №4 экспериментальное определение импульсного отклика, передаточной функции и углового разрешения оптической системы

Любую оптическую систему (линзу, объектив, микроскоп, и т.п.) можно представить как систему, передающую информацию. В качестве информации, поступающей на вход такой системы, следует рассматривать двумерное распределение интенсивности или комплексной амплитуды световой волны в предметной (входной) плоскости оптической системы. Это распределение кратко называют предметом. После преобразования в оптической системе световая волна формирует в выходной плоскости распределение интенсивности (или комплексной амплитуды), геометрически подобное предмету. Это распределение называют изображением. Как связаны между собой распределения света на входе и выходе системы? В какой степени изображение подобно предмету? Ответы на эти вопросы дает развитое в рамках теории связи представление о линейных фильтрах или линейных системах передачи и обработки информации.

В таких системах передачи и обработки сигналов осуществляется преобразование входных сигналовsв выходныеu. Наиболее простыми являютсялинейные системы, подчиняющиесяпринципу суперпозиции. Согласно этому принципу любой произвольной линейной комбинации двух входных сигналовs₁иs₂соответствует такая же линейная комбинация выходных сигналовu₁иu₂, то есть

as₁+bs₂→au₁+bu₂

где aиb– произвольные константы, → - символ преобразования, осуществляемого линейной системой.

Назовем импульсным откликом hсистемы ее реакцию на δ-функцию, то есть при подаче на вход системы δ-функции на выходе должна наблюдаться некоторая функцияh, отличная от δ-функции.

δ → h

В оптике, как указано выше, под входными и выходными сигналами подразумевают двумерное распределение комплексной амплитуды волнового поля в плоскости предмета и изображения. Дельта-функцией в этом случае может служить идеальный точечный источник света, а импульсный отклик оптической системы будет представлять собой изображение этого источника, построенное системой в выходной плоскости. В реальных оптических системах, обладающих многочисленными аберрациями, изображением точечного источника является небольшое пятно (кружок нерезкости) с неравномерным распределением интенсивности. Но даже идеальная оптическая система из-за дифракции волны на действующем отверстии оптической системы отображает точечный источник в виде так называемого диска Эйри – кружка, обрамленного кольцами. На рис. 1 показаны примеры импульсных откликов идеальной (пунктирная линия) и реальной (сплошная линия) оптических систем.

Рис. 1

В дальнейшем будем рассматривать системы, удовлетворяющие условию инвариантности. Оно сводится к тому, что форма импульсного отклика системы не должна зависеть от положения δ-функции во входной плоскости системы. Например, для оптической системы, строящей изображение в масштабе 1:1, условие инвариантности можно сформулировать следующим образом. Пусть

δ(x,y) →h(x_1,y₁),

где (x,y) – координаты во входной плоскости, (x_1,y₁) – координаты в выходной плоскости системы. Тогда для инвариантной системы

δ(x+ξ,y+η) → h(x₁+ξ,y₁+η),

где (ξ,η) – произвольный сдвиг.

Произвольный входной сигнал, то есть волновое поле во входной плоскости можно представить в виде совокупности дельта-функций:

, (1)

Где, в соответствии со свойствами δ-функции предполагается, что

.

Тогда на выходе системы каждая из входных δ-функций создаст свой импульсный отклик, и, поскольку система линейна, все эти импульсные отклики сложатся. Соответствующая суперпозиция u(x_1,y₁) импульсных откликов может быть представлена выражением

, (2)

которое представляет собой интеграл свертки двух функций: входного сигнала sи импульсного отклика системыh.

Последняя формула устанавливает связь входного и выходного сигналов оптической системы. В таком представлении воздействие оптической системы на входной сигнал выражается через ее импульсный отклик. Однако работу линейной системы можно описать и с иной точки зрения.

Входной сигнал sможно представить не только в виде совокупности δ-функций. Если воспользоваться Фурье-преобразованием, то сигналsможно описать как суперпозицию пространственных гармонических составляющих волнового поля. Физически каждой такой составляющей соответствует плоская волна, распространяющаяся под определенным углом α к оптической оси системы. Во входной плоскости оптической системы плоская волна формирует распределение комплексной амплитуды, пространственная частота которого равна проекции волнового вектора плоской волны на эту входную плоскость. Таким образом, операция Фурье-преобразования входного сигнала (то есть разложение сигнала по пространственным частотам) соответствует представлению сигнала в виде суммы плоских волн с различными пространственными частотами, то есть распространяющихся под различными углами к оптической оси.

Влияние оптической системы сводится к тому, что при прохождении через нее амплитуда и фаза каждой плоской волны определенным образом изменяется. На выходе системы они вновь складываются, образуя выходной сигнал. Такое описание работы оптической системы называют частотным или спектральным.

Пусть S(ω_x,ω_y) ­­– Фурье-образ функцииs(x,y),U(ω_x,ω_y) – Фурье-образ функцииu(x,y), аH(ω_x,ω_y) – Фурье-образ функцииh(x_1,y₁). Тогда, применяя Фурье-преобразование к обеим частям уравнения (2) и, используя теорему о свертке для Фурье-преобразования, получаем

U=SH(3)

По своему физическому смыслу функцияSпредставляет собой спектр пространственных частот входного сигнала, а функцияU– спектр пространственных частот выходного сигнала. Функцию Н, являющуюся Фурье-образом импульсного отклика оптической системы, называют передаточной функцией оптической системы. Таким образом, как следует из формулы (3) в частотном представлении воздействие оптической системы сводится к простому умножению спектра входного сигнала на передаточную функцию. Это дает основание рассматривать оптическую систему как фильтр пространственных частот. Передаточная функция Н описывает фильтрующие свойства системы. Обычно функция Н отлична от нуля в ограниченном диапазоне пространственных частот. Все частоты, лежащие за пределами этого диапазона не передаются системой.

Обе рассмотренные функции – импульсный отклик hи передаточная функция Н характеризуют отображающие свойства оптической системы и являются важными характеристиками ее качества.

На практике для простоты качество оптической системы обычно характеризуют показателем, называемым угловым разрешением оптической системы. Его определяют как минимальное угловое расстояние между двумя точками объекта, которые на изображении, построенном оптической системой могут восприниматься раздельно.

Ситуация, возникающая на пределе разрешения, проиллюстрирована на рис. 2. Кривые А и В показывают распределение интенсивности в плоскости изображения от двух близко расположенных точек объекта. Каждая из этих кривых представляет собой импульсный отклик оптической системы. Если точки объекта расположены очень близко, их импульсные отклики частично накладываются друг на друга. Получающееся в результате суммарное распределение интенсивности, характеризуемое кривой С, будет иметь вид единого светлого пятна с некоторым провалом интенсивности посередине пятна. Если точки объекта сблизить еще сильнее, провал станет незаметным и информация о раздельном существовании двух точек объекта на выходе оптической системы не отобразится. Минимальное угловое расстояние между точками объекта, в совместном изображении которых можно различить указанный провал интенсивности, и принимают за угловое разрешение системы.

Рис. 2

В настоящей лабораторной работе рассматривается цифровой компьютерный метод экспериментального определения импульсного отклика и передаточной функции фотографического объектива. На основании полученных экспериментальных данных оценивается его угловое разрешение.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

В настоящей работе определяется импульсный отклик и передаточная функция фотографического объектива ГЕЛИОС – 40, которым снабжена цифровая камера CANONEOS300D. Схема экспериментальной установки приведена на рис 3. Луч полупроводникового лазера 1 направляют на отрицательную линзу 2, которая формирует расходящийся гомоцентрический пучок лучей с центром О в мнимом фокусе линзы. В этом пучке лучей на расстоянии ~ 2м от его центра располагают исследуемый объектив 3, присоединенный к цифровой камере 4, и фокусируют объектив камеры на центр пучка, играющего роль точечного источника света. С помощью ирисовой диафрагмы, встроенной в объектив, можно менять относительное отверстие объектива.

Рис. 3

Изображение точечного источника, построенное объективом, является импульсным откликом этого объектива для данных конкретных условий фотосъемки. Это изображение, зарегистрированное приемной матрицей фотокамеры, вводят в компьютер 5, производящий обработку экспериментальных данных. В итоге обработки получают графики импульсного отклика и передаточной функции исследуемого объектива.

Алгоритм обработки включает в себя следующие операции:

1. Считывание с введенного в компьютер кадра одной выбранной строки, пересекающей изображение точечного источника.

2. Построение графика распределения яркости изображения вдоль стоки, то есть графика импульсного отклика.

3. Выполнение Фурье-преобразования от считанного распределения яркости вдоль строки.

4. Построение графика рассчитанного Фурье образа, являющегося передаточной функцией.

Перечисленные операции выполняют с помощью специального программного обеспечения.

ПОРЯДОК РАБОТЫ

Целью работы является экспериментальное исследование отображающих свойств оптической системы.

Приборы и материалы: лазер, фотообъектив, цифровая фотокамера, компьютер.

ЗАДАНИЕ 1. Импульсный отклик и передаточная функция.

1. Включить лазер и, пользуясь ручной наводкой на резкость при полностью открытой диафрагме, тщательно сфокусировать объектив фотокамеры на точечный источник, сформированный линзой 2. При этом изображение источника следует помещать в центр кадра.

2. Установить рекомендованные преподавателем значение диафрагмы и выдержки и, пользуясь дистанционным управлением затвором камеры с компьютера, проэкспонировать кадр.

3. После ввода кадра в память компьютера (выполняется автоматически) раскрыть изображение в фоторедакторе (CORELPHOTO-PAINTилиPHOTOSHOP) и найти центр изображения источника. Записать номер строки, пересекающей найденный центр изображения.

4. Ввести этот номер в качестве параметра в программу MICROHOLO, осуществляющую обработку информации и вывод графиков импульсного отклика и передаточной функции.

5. Пункты 2-4 проделать два раза для минимального и максимального значений диафрагмы.

6. Для каждого из двух полученных графиков импульсного отклика определить его ширину Δh, выраженную в числе пикселей на уровне 0,4 от максимального значения и рассчитать угловое разрешение φ объектива по формуле φ=Δhp/f, гдеp– шаг пикселей на приемной матрице фотокамеры (7,2 мкм),f– фокусное расстояние исследуемого объектива (8,5 см).

7. Для каждого из полученных графиков передаточной функции определить пространственную частоту ν_п, соответствующую уровню, равному 0,4 от максимального значения функции в нуле. Значения частоты ν передаточной функции, проставленные на оси абсцисс, представляют собой число периодов, укладывающихся на полной ширине приемной матрицы для текущей пространственной частоты. Например, при ν=500 на полной ширине матрицы (3000 пикселей) уложится 500 периодов данной Фурье составляющей, то есть каждый период займет 6 пикселей.

8. Сопоставить ширину импульсного отклика Δhс периодом, соответствующим найденной предельной пространственной частоте ν­_п, передаваемой объективом. Сделать выводы о согласовании результатов.

9. Объяснить зависимость углового разрешения от величины диафрагмы объектива.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что означают условия линейности и инвариантности оптической системы?

2. Что такое импульсный отклик оптической системы?

3. Как связаны между собой импульсный отклик и разрешение оптической системы?

4. От каких характеристик оптической системы зависит ее разрешение?

5. Что такое передаточная функция оптической системы и как она связана с ее импульсным откликом?

Библиографический список

1. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. / Л.М. Сороко. - М.: Наука, 1971. - 616 с.

2. Гудмен Д. Введение в Фурье-оптику. / Д. Гудмен. - М.: Мир, 1970. - 364 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1980. - т.4. - 752 с.

4. Г.С. Ландсберг. Оптика. / Г.С. Ландсберг. - М.: Наука, 1976. - 728 с.