- •Московский государственный технический
- •Теория погрешностей
- •I. Погрешности при прямых измерениях
- •Иногда относительная погрешность выражается в процентах:
- •I I. Погрешность при косвенных измерениях.
- •III. Запись результата косвенного измерения.
- •9 Контрольные вопросы
- •Рекомендации при построении графиков
- •10 Определение плотности твердых тел
- •Введение
- •Порядок выполнения работы
- •11 Обработка результатов измерений
Иногда относительная погрешность выражается в процентах:
I I. Погрешность при косвенных измерениях.
В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.
Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с помощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.
В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.
Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргументами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А результат косвенного измерения, результаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна
(5)
С другой стороны . Так как погрешностьвсегда много меньше измеряемой величиныА, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать:.
5
Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погрешность косвенного измерения можно найти путем:
логарифмирования исходного выражения ;
последующего дифференцирования ;
заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;
заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .
Пример.
Для определения плотности цилиндрического тела применяется формула:
,
где m масса тела, D диаметр, h высота. Величины m, D, h определяются в результате прямых измерений. Плотность определяется из косвенных измерений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:
находим натуральный логарифм исходного выражения
,
выполняем дифференцирование : ,
заменяем знак d на знак :,
перед всеми знаками ставим знаки плюс.
Далее можно найти абсолютную погрешность: ,
где абсолютная погрешность косвенного измерения, среднее значение искомой величины, ε – относительная погрешность.
Примечание.
Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолютную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погрешностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:
6
1) дифференцируют исходное выражение;
2) заменяют знак дифференциала d на знак погрешности ;
3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.
Пример.
1)
2) ,
3) .
III. Запись результата косвенного измерения.
При записи результата косвенного измерения необходимо соблюдать следующие правила:
1. Величину абсолютной погрешности необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в числе 5100 четыре значащие цифры.
Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка оказалась равной , ее следует округлить до двух значащих цифр:. Если, ее следует округлить до одной значащей цифры.
Среднее значение измеряемой величины следует записать таким образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная погрешность.
Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле получается равным , а абсолютная ошибка после округления равна, то объем следует записать также только до десятых
Окончательный результат записывается в виде: .
Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины.
В случае нашего примера для объема цилиндра окончательный результат записывается следующим образом: .
Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:
.
7
ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.
При определении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника используется расчетная формула:
,
где l длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой, n - число колебаний маятника, t - время десяти колебаний маятника, определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины получаем следующие данные:
t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76; n = 10;
l= 54.2 см ±0.05 см = (54.2 ±0.05)10-2 м
1) Результаты измерений заносим в таблицу
Результаты измерений и расчетов. Таблица.
№
|
, с
|
, с |
l, м
|
Δl, м
|
1 2345
|
14.72 14.74 14.77 14.76 14.71
|
0.02 0 0.03 0.02 0.03
|
54.210-2
|
0.0510-2
|
|
=14.74
|
0,02
| ||
|
=(14.74±0.02) с
|
= (54,20 + 0,05)10-2 м
| ||
g =(9.84 ±0.05) м/с2, = 0.005
|
2) Определяем погрешности при прямых измерениях:
t = (14.74±0.02) c.
8
б) Так как измерения длины производились один раз, в качестве абсолютной погрешности берем погрешность инструмента (линейки), т.е. половину деления ее шкалы
3) Определяем относительную погрешность при косвенном измерении g:
а) берем натуральный логарифм от выражения:
б) выполняем дифференцирование
в) знак d заменяем на знак
,
г) знак минус перед знаком заменяем на знак плюс
.
Число Если ограничиться значением, то
относительная погрешность и
.
Запись окончательного результата. Находим среднее значение ускорения свободного падения
.
Найдем абсолютную погрешность: . Округляем полученный результат до одной значащей цифры. Записываем окончательный результат:
.